Медіана (статистика)

Медіа́на (англ. median) — 1. У статистиці величина ознаки, що знаходиться по середині ранжованого ряду вибірки, тобто — це величина, що знаходиться в середині ряду величин, розташованих у зростаючому або спадному порядку. 2. В теорії ймовірності — характеристика розподілення випадкової величини. Медіана ділить ряд значень ознаки на дві рівні частини, по обидві частини від неї розміщується однакова кількість одиниць сукупності. Медіана є квантилем порядку 1/2. Позначається як $\tilde{x}$ або $x_{1/2}\,$.

Визначення

Медіаною функції розподілу $F$ називається таке число $\tilde{x}$, що:

$F(\tilde{x}) = 1/2$,

або:

$P(X < \tilde{x}) = P(X > \tilde{x}) = 1/2$,

тобто, ймовірність того, що випадкова величина матиме значення більше або менше за медіану однакова і дорівнює 1/2.

Якщо функція розподілу строго монотонна, то медіана визначається однозначно, в протилежному випадку, розв'язком рівняння $\tilde{x} = F^{-1}(x)$ є відрізок $[\underline{x}, \overline{x}]$. З точки зору теорії ймовірностей, значення з цього відрізку можна не розглядати. Таким чином, неоднозначність цього рівняння неістотна. Аби уникнути пов'язаних з цієї неоднозначностей проблем, медіаною можна вважати найменший корінь рівняння: $\tilde{x} = \underline{x}$.

З геометричної точки зору, вертикальна пряма $x = \tilde{x}$, що проходить через точку з абсцисою $\tilde{x}$ ділить площу фігури під кривою функції розподілу на дві рівні частини.

Медіана варіаційного ряду

Медіаною називають варіанту, що ділить варіаційний ряд на дві частини з рівною кількістю варіант. Якщо кількість варіант непарна ($n = 2k + 1$), то $\tilde{x} = x_{k+1}$, у випадку парної кількості варіант ($n = 2k$), медіана дорівнює:

$\tilde{x} = \frac{(x_k + x_{k+1})}{2}$.

Наприклад, для ряду 2 3 5 6 7 медіана дорівнює 5; для ряду 2 3 5 6 7 9 медіана дорівнює (5 + 6)/2 = 5.5.

Дивіться також

• Квантиль

Ресурси інтернету

• Statistical Median. на MathWorld(англ.)