Розподіл ймовірностей

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Дискретний розподіл ймовірностей для суми двох гральних кісток

В математиці та статистиці розпо́діл ймові́рностей (який має математично описуватися функцією розподілу ймовірностей), ставить у відповідність кожному інтервалу ймовірність таким чином, що аксіоми ймовірностей виконуються. Математичною мовою, функція розподілу ймовірностей є ймовірнісною мірою, визначеною на борелівській алгебрі інтервалів.

Розподіл імовірностей є окремим випадком загальнішого означення ймовірнісної міри, яка є функцією, що ставить у відповідність вимірним множинам з вимірного простору ймовірності за аксіомами Колмогорова.

Згідно з означенням П. Лапласа, мірою ймовірності є дріб, чисельником якого є число сприятливих подій, а знаменником — число всіх можливих випадків. [1]

Також, деякі вчені означають розподіл як ймовірнісну міру, індуковану випадковою величиною X на деякому інтервалі — ймовірність множини B є P(X^{-1}(B)). Однак, у цій статті розглядаємо лише ймовірнісні міри на множині інтервалів числової прямої.

Строге визначення[ред.ред. код]

Будь-яка випадкова величина задається своїм розподілом імовірностей. Якщо X є випадковою величиною, його розподіл ставить у відповідність відрізкам [a, b] ймовірність Pr[aXb], тобто ймовірність, що випадкова величина X прийме значення з інтервалу [a, b]. Розподіл ймовірностей величини X може бути однозначно описаний своєю функцією розподілу ймовірностей F(x), яка визначається, як

 F(x) = \Pr\left[ X \le x \right]

для усіх x з R.

Розподіл є дискретним, якщо його функція розподілу складається зі скінченної послідовності уступів, що фактично означає, що величина X є дискретною випадковою величиною: вона може набувати значення лише із визначеної скінченної (або зліченної) множини. Дехто визначає неперервний розподіл як такий, що його функція розподілу є неперервною функцією, що означає, що вона відповідає такій випадковій величині X для якої Pr[ X = x ] = 0 для усіх x в R. Інше визначення використовує термін неперервна функція розподілу лише для абсолютно неперервного розподілу. В термінах функції щільності, на множині дійсних чисел визначено невід'ємний інтеграл Лебега функції fщо задовольняє умові

 \Pr \left[ a \le X \le b \right] = \int_a^b f(x)\,dx

для всіх a та b. Очевидно, для дискретних розподілів функція щільності не визначена; хоча треба відмітити, що для деяких неперервних розподілів, як драбина Кантора функція щільності також не визначена.

Дискретна функція розподілу виражається як -


F(x) = \Pr \left[X \le x \right] = \sum_{x_i \le x} p(x_i)

для i = 1, 2, ...\,\!.

Де p(x_i)\,\! є ймовірністю елементарної події.

  • Розподіл імовірностей суми двох незалежних випадкових величин є згорткою їх функцій щільності.
  • Розподіл імовірностей різниці двох незалежних випадкових величин є крос-кореляцією їх функцій щільності.

Список важливих ймовірнісних розподілів[ред.ред. код]

Деякі ймовірнісні розподіли є дуже важливим в теорії та практиці, тож їм дали свої назви:

Дискретні розподіли[ред.ред. код]

Зі скінченною множиною подій[ред.ред. код]

З нескінченою множиною подій[ред.ред. код]

Неперервні розподіли[ред.ред. код]

Визначені на замкненому інтервалі[ред.ред. код]

Визначений на пів-інтервалі [0,∞)[ред.ред. код]

Визначені на всій дійсній осі[ред.ред. код]

Згортка розподілів[ред.ред. код]

Для будь-якої множини незалежних випадкових величин функція щільності їх загального розподілу є добутком їх функцій щільності.

Ймовірносний простір розмірності більше 1[ред.ред. код]

Матричні розподіли[ред.ред. код]

Приклади розподілів[ред.ред. код]

Джерела інформації[ред.ред. код]

  1. Лаплас. Опыт философии теории вероятностей / В книге: Вероятность и математическая статистика: Энциклопедия / Гл. ред. Ю. В. Прохоров. — Большая Российская энциклопедия. — 1999. — С. 834 — 869.

Див. також[ред.ред. код]

Посилання[ред.ред. код]