Розподіл Парето

Розподіл Парето

Щільність розподілу
Функція розподілу ймовірностей
Параметри	$x_\mathrm{m}>0\,$ масштаб (дійсне) $k>0\,$ параметр форми (дійсне)
Носій функції	$x \in [x_\mathrm{m}; +\infty)\!$
Розподіл ймовірностей	$\frac{k\,x_\mathrm{m}^k}{x^{k+1}}\!$
Функція розподілу ймовірностей (cdf)	$1-\left(\frac{x_\mathrm{m}}{x}\right)^k\!$
Середнє	$\frac{k\,x_\mathrm{m}}{k-1}\!$ для $k>1$
Медіана	$x_\mathrm{m} \sqrt[k]{2}$
Мода	$x_\mathrm{m}\,$
Дисперсія	$\frac{x_\mathrm{m}^2k}{(k-1)^2(k-2)}\!$ для $k>2$
Коефіцієнт асиметрії	$\frac{2(1+k)}{k-3}\,\sqrt{\frac{k-2}{k}}\!$ для $k>3$
Коефіцієнт ексцесу	$\frac{6(k^3+k^2-6k-2)}{k(k-3)(k-4)}\!$ для $k>4$
Ентропія	$\ln\left(\frac{k}{x_\mathrm{m}}\right) - \frac{1}{k} - 1\!$
Твірна функція моментів (mgf)	не визначено; див. моменти в тексті статті
Характеристична функція	$k(-ix_\mathrm{m}t)^k\Gamma(-k,-ix_\mathrm{m}t)\,$

Розподіл Парето в теорії імовірностей — це двопараметрична сім'я абсолютно неперервних розподілів.

Визначення

Нехай випадкова величина $X$ така, що її розподіл задається рівністю:

$\mathbb{P}(X > x) = \left(\frac{x}{x_m}\right)^{-k},\; \forall x \ge x_m$,

де $x_m,k>0$. Тоді кажуть, що $X$ має розподіл Парето з параметрами $x_m$ и $k$. Щільність розподілу Парето має вигляд:

$f_X(x) = \left\{ \begin{matrix} \frac{kx_m^k}{x^{k+1}}, & x \ge x_m \\ 0, & x < x_m \end{matrix} \right..$

Моменти

Моменти випадкової величини, які мають розподіл Парето, задаються формулою:

$\mathbb{E}\left[X^n\right] = \frac{kx_m^n}{k-n}$,

звідки випливає, зокрема:

$\mathbb{E}[X] = \frac{kx_m}{k-1}$,

$\mathrm{D}[X] = \left(\frac{x_m}{k-1}\right)^2 \frac{k}{k-2}$.

Дивіться також

• Принцип Парето