Розподіл Парето

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Розподіл Парето
Щільність розподілу
Функції щільності розподілу Парето для різних k
Функція розподілу ймовірностей
Функції розподілу ймовірностей Парето для різних k
Параметри x_\mathrm{m}>0\, масштаб (дійсне)
k>0\, параметр форми (дійсне)
Носій функції x \in [x_\mathrm{m}; +\infty)\!
Розподіл ймовірностей \frac{k\,x_\mathrm{m}^k}{x^{k+1}}\!
Функція розподілу ймовірностей (cdf) 1-\left(\frac{x_\mathrm{m}}{x}\right)^k\!
Середнє \frac{k\,x_\mathrm{m}}{k-1}\! для k>1
Медіана x_\mathrm{m} \sqrt[k]{2}
Мода x_\mathrm{m}\,
Дисперсія \frac{x_\mathrm{m}^2k}{(k-1)^2(k-2)}\! для k>2
Коефіцієнт асиметрії \frac{2(1+k)}{k-3}\,\sqrt{\frac{k-2}{k}}\! для k>3
Коефіцієнт ексцесу \frac{6(k^3+k^2-6k-2)}{k(k-3)(k-4)}\! для k>4
Ентропія \ln\left(\frac{k}{x_\mathrm{m}}\right) - \frac{1}{k} - 1\!
Твірна функція моментів (mgf) не визначено; див. моменти в тексті статті
Характеристична функція k(-ix_\mathrm{m}t)^k\Gamma(-k,-ix_\mathrm{m}t)\,

Розподіл Парето в теорії імовірностей — це двопараметрична сім'я абсолютно неперервних розподілів.

Визначення[ред.ред. код]

Нехай випадкова величина X така, що її розподіл задається рівністю:

\mathbb{P}(X > x) = \left(\frac{x}{x_m}\right)^{-k},\; \forall x \ge x_m,

де x_m,k>0. Тоді кажуть, що X має розподіл Парето з параметрами x_m и k. Щільність розподілу Парето має вигляд:

f_X(x) = \left\{

\begin{matrix}
\frac{kx_m^k}{x^{k+1}}, & x \ge x_m \\
0, & x < x_m
\end{matrix}
\right..

Моменти[ред.ред. код]

Моменти випадкової величини, які мають розподіл Парето, задаються формулою:

\mathbb{E}\left[X^n\right] = \frac{kx_m^n}{k-n},

звідки випливає, зокрема:

\mathbb{E}[X] = \frac{kx_m}{k-1},
\mathrm{D}[X] = \left(\frac{x_m}{k-1}\right)^2 \frac{k}{k-2}.

Дивіться також[ред.ред. код]

Bvn-small.png        Розподіли ймовірності
Одновимірні Багатовимірні
Дискретні: Бернуллі | біноміальний | геометричний | гіпергеометричний | логарифмічний | від'ємний біноміальний | Пуассона | рівномірний поліноміальний
Абсолютно неперервні: Бета | Вейбулла | Гамма | гіперекспоненційний | Колмогорова | Коші | Лапласа | Леві | логістичний | логнормальний | нормальний (Гауса) | Парето | рівномірний | Райса | Релея | Стьюдента | Фішера | хі-квадрат | експоненційний | багатовимірний нормальний