Логнормальний розподіл

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Логнормальний

Деякі щільності лог-нормального розподілу з однаковими параметрами локалізації μ, але різними параметрами масштабу σ
Функція розподілу ймовірностей
Функція розподілу лог-нормального розподілу (з μ = 0 )
Параметри σ2 > 0 — форма (дійсне),
μR — логарифмічний-масштаб
Носій функції x ∈ (0, +∞)
Розподіл ймовірностей \frac{1}{x\sqrt{2\pi\sigma^2}}\, e^{-\frac{\left(\ln x-\mu\right)^2}{2\sigma^2}}
Функція розподілу ймовірностей (cdf) \frac12 + \frac12\,\mathrm{erf}\Big[\frac{\ln x-\mu}{\sqrt{2\sigma^2}}\Big]
Середнє e^{\mu+\sigma^2/2}
Медіана e^{\mu}\,
Мода e^{\mu-\sigma^2}
Дисперсія (e^{\sigma^2}\!\!-1) e^{2\mu+\sigma^2}
Коефіцієнт асиметрії (e^{\sigma^2}\!\!+2) \sqrt{e^{\sigma^2}\!\!-1}
Коефіцієнт ексцесу e^{4\sigma^2}\!\! + 2e^{3\sigma^2}\!\! + 3e^{2\sigma^2}\!\! - 6
Ентропія \frac12 + \frac12 \ln(2\pi\sigma^2) + \mu
Твірна функція моментів (mgf) (визначена тільки на від'ємній півосі)
Характеристична функція представлення \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(it)^n}{n!}e^{n\mu+n^2\sigma^2/2} є асимптотично розбіжне, але достатньо точне для числового використання

Логнормальний розподіл у теорії ймовірностей — двопараметричне сімейство абсолютно неперервних розподілів. Якщо випадкова величина має логнормальний розподіл, то її логарифм має нормальний розподіл.

Визначення[ред.ред. код]

Нехай розподіл випадкової величини X задається щільністю ймовірності, що має вид:

f_X(x) = \left\{
\begin{matrix}
\frac{1}{x \sigma \sqrt{2 \pi}} e^{-(\ln x - \mu)^2/2\sigma^2}, & x > 0 \\
0, & x \le 0 
\end{matrix}
\right.,

де \sigma>0,\; \mu\in \mathbb{R}. Тоді кажуть, що X має логнормальний розподіл з параметрами \mu і \sigma. Пишуть: X \sim \mathrm{Log}(\mu,\sigma^2) \ .

Моменти[ред.ред. код]

Формула для k-го моменту логнормальної випадкової величини X має вид:

\mathbb{E}\left[X^k\right] = e^{k\mu + \frac{k^2\sigma^2}{2}},\; k \in \mathbb{N},

відкіля зокрема :

\mathbb{E}[X] = e^{\mu + {\sigma^2 \over 2}},
\mathrm{D}[X] =\left(e^{\sigma^2}-1\right) e^{2\mu + \sigma^2}.

Властивості логнормального розподілу[ред.ред. код]

  • Якщо X_1,\ldots, X_n — незалежні логнормальні випадкові величини, такі що X_i \sim \mathrm{Log}(\mu, \sigma_i^2), то їхній добуток також логнормальний:

Y = \prod\limits_{i=1}^n X_i \sim \mathrm{Log}\left(n\mu, \sum\limits_{i=1}^n \sigma^2_i\right).

Зв'язок з іншими розподілами[ред.ред. код]

  • Якщо X \sim \mathrm{Log}(\mu,\sigma^2) \ , то
Y = \ln X \sim \mathrm{N}(\mu,\sigma^2) \ .

Моделювання логнормальних випадкових величин[ред.ред. код]

Для моделювання звичайно використовується зв'язок з нормальним розподілом. Тому, досить згенерувати нормально розподілену випадкову величину, наприклад, використовуючи перетворення Бокса — Мюллера, і обчислити її експоненту.

Моделювання[ред.ред. код]

Моделювання значень випадкової величини з логнормальним розподілом (з параметрами \mu і \sigma) проводиться за формулою X=e^Y, де Y має нормальний розподіл з тими ж параметрами.

Застосування логнормального розподілу[ред.ред. код]

У статистиці так званий логнормальний розподіл застосовується в тому випадку, коли починає змінюватися ціна активу в майбутньому — а це випадковий процес, що у принципі повинний описуватися нормальним розподілом. У той же час для цілей імовірнісної оцінки вартості активу в теорії використовують не нормальний, а логнормальний розподіл. Це обумовлено такими причинами:

  • По-перше, нормальний розподіл симетричний щодо її центральної осі і може мати як додатні, так і від'ємні значення; однак ціна активу не може бути від'ємною.
  • По-друге, нормальний розподіл говорить про рівну імовірність для відхилення значень змінної чи нагору вниз. У той же час на практиці, наприклад, має місце інфляція, що натискає на ціни убік їхнього підвищення, а також сама тимчасова сутність грошей: вартість грошей сьогодні менше, ніж вартість грошей учора, але більше, ніж вартість грошей завтра.

Крива логнормального розподілу завжди додатня і має правобічну скошеність (асиметрично), тобто вона вказує на велику імовірність відхилення ціни вгору. Тому якщо, допустимо, ціна активу становить 50 дол., то крива логнормального розподілу свідчить про те, що пут-опціон з ціною виконання 45 дол. повинний коштувати менше колл-опціону із ціною виконання 55 дол., у той час як відповідно до нормального розподілу вони повинні були б мати однакову ціну. Хоча не можна сподіватися, що приведені вихідні припущення в точності виконуються у всіх реальних ринкових ситуаціях, проте прийнято вважати, що логнормальний розподіл є достатньо добрим як перше наближення у випадку активів, якими торгують на конкурентних ринках аукціонного типу для довгих розглянутих періодів.

Див. також[ред.ред. код]

Bvn-small.png        Розподіли ймовірності
Одновимірні Багатовимірні
Дискретні: Бернуллі | біноміальний | геометричний | гіпергеометричний | логарифмічний | від'ємний біноміальний | Пуассона | рівномірний поліноміальний
Абсолютно неперервні: Бета | Вейбулла | Гамма | гіперекспоненційний | Колмогорова | Коші | Лапласа | Леві | логістичний | логнормальний | нормальний (Гауса) | Парето | рівномірний | Райса | Релея | Стьюдента | Фішера | хі-квадрат | експоненційний | багатовимірний нормальний