Логнормальний розподіл

Логнормальний

Деякі щільності лог-нормального розподілу з однаковими параметрами локалізації μ, але різними параметрами масштабу σ
Функція розподілу ймовірностей Функція розподілу лог-нормального розподілу (з μ = 0 )
Параметри	σ2 > 0 — форма (дійсне), μ ∈ R — логарифмічний-масштаб
Носій функції	x ∈ (0, +∞)
Розподіл ймовірностей	$\frac{1}{x\sqrt{2\pi\sigma^2}}\, e^{-\frac{\left(\ln x-\mu\right)^2}{2\sigma^2}}$
Функція розподілу ймовірностей (cdf)	$\frac12 + \frac12\,\mathrm{erf}\Big[\frac{\ln x-\mu}{\sqrt{2\sigma^2}}\Big]$
Середнє	$e^{\mu+\sigma^2/2}$
Медіана	$e^{\mu}\,$
Мода	$e^{\mu-\sigma^2}$
Дисперсія	$(e^{\sigma^2}\!\!-1) e^{2\mu+\sigma^2}$
Коефіцієнт асиметрії	$(e^{\sigma^2}\!\!+2) \sqrt{e^{\sigma^2}\!\!-1}$
Коефіцієнт ексцесу	$e^{4\sigma^2}\!\! + 2e^{3\sigma^2}\!\! + 3e^{2\sigma^2}\!\! - 6$
Ентропія	$\frac12 + \frac12 \ln(2\pi\sigma^2) + \mu$
Твірна функція моментів (mgf)	(визначена тільки на від'ємній півосі)
Характеристична функція	представлення $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(it)^n}{n!}e^{n\mu+n^2\sigma^2/2}$ є асимптотично розбіжне, але достатньо точне для числового використання

Логнормальний розподіл у теорії ймовірностей — двопараметричне сімейство абсолютно неперервних розподілів. Якщо випадкова величина має логнормальний розподіл, то її логарифм має нормальний розподіл.

Визначення

Нехай розподіл випадкової величини $X$ задається щільністю ймовірності, що має вид:

$f_X(x) = \left\{ \begin{matrix} \frac{1}{x \sigma \sqrt{2 \pi}} e^{-(\ln x - \mu)^2/2\sigma^2}, & x > 0 \\ 0, & x \le 0 \end{matrix} \right.$,

де $\sigma>0,\; \mu\in \mathbb{R}$. Тоді кажуть, що $X$ має логнормальний розподіл з параметрами $\mu$ і $\sigma$. Пишуть: $X \sim \mathrm{Log}(\mu,\sigma^2) \$.

Моменти

Формула для $k$-го моменту логнормальної випадкової величини $X$ має вид:

$\mathbb{E}\left[X^k\right] = e^{k\mu + \frac{k^2\sigma^2}{2}},\; k \in \mathbb{N},$

відкіля зокрема :

$\mathbb{E}[X] = e^{\mu + {\sigma^2 \over 2}}$,

$\mathrm{D}[X] =\left(e^{\sigma^2}-1\right) e^{2\mu + \sigma^2}$.

Властивості логнормального розподілу

• Якщо $X_1,\ldots, X_n$ — незалежні логнормальні випадкові величини, такі що $X_i \sim \mathrm{Log}(\mu, \sigma_i^2)$, то їхній добуток також логнормальний:

$Y = \prod\limits_{i=1}^n X_i \sim \mathrm{Log}\left(n\mu, \sum\limits_{i=1}^n \sigma^2_i\right)$.

Зв'язок з іншими розподілами

• Якщо $X \sim \mathrm{Log}(\mu,\sigma^2) \$, то

$Y = \ln X \sim \mathrm{N}(\mu,\sigma^2) \$.

Моделювання логнормальних випадкових величин

Для моделювання звичайно використовується зв'язок з нормальним розподілом. Тому, досить згенерувати нормально розподілену випадкову величину, наприклад, використовуючи перетворення Бокса — Мюллера, і обчислити її експоненту.

Моделювання

Моделювання значень випадкової величини з логнормальним розподілом (з параметрами $\mu$ і $\sigma$) проводиться за формулою $X=e^Y$, де $Y$ має нормальний розподіл з тими ж параметрами.

Застосування логнормального розподілу

У статистиці так званий логнормальний розподіл застосовується в тому випадку, коли починає змінюватися ціна активу в майбутньому — а це випадковий процес, що у принципі повинний описуватися нормальним розподілом. У той же час для цілей імовірнісної оцінки вартості активу в теорії використовують не нормальний, а логнормальний розподіл. Це обумовлено такими причинами:

• По-перше, нормальний розподіл симетричний щодо її центральної осі і може мати як додатні, так і від'ємні значення; однак ціна активу не може бути від'ємною.
• По-друге, нормальний розподіл говорить про рівну імовірність для відхилення значень змінної чи нагору вниз. У той же час на практиці, наприклад, має місце інфляція, що натискає на ціни убік їхнього підвищення, а також сама тимчасова сутність грошей: вартість грошей сьогодні менше, ніж вартість грошей учора, але більше, ніж вартість грошей завтра.

Крива логнормального розподілу завжди додатня і має правобічну скошеність (асиметрично), тобто вона вказує на велику імовірність відхилення ціни вгору. Тому якщо, допустимо, ціна активу становить 50 дол., то крива логнормального розподілу свідчить про те, що пут-опціон з ціною виконання 45 дол. повинний коштувати менше колл-опціону із ціною виконання 55 дол., у той час як відповідно до нормального розподілу вони повинні були б мати однакову ціну. Хоча не можна сподіватися, що приведені вихідні припущення в точності виконуються у всіх реальних ринкових ситуаціях, проте прийнято вважати, що логнормальний розподіл є достатньо добрим як перше наближення у випадку активів, якими торгують на конкурентних ринках аукціонного типу для довгих розглянутих періодів.

Див. також

• Нормальний розподіл