Користувач:Yura Kuch/Біноміальний розподіл Пуассона

Біноміальний розподіл Пуассона
Параметри	$\mathbf {p} \in [0,1]^{n}$ — ймовірності успіху для кожного з $n$ випробувань
Носій функції	$k$ ∈ $\{0,...,n\}$
Розподіл імовірностей	$\sum \limits _{A\in F_{k}}\prod \limits _{i\in A}p_{i}\prod \limits _{j\in A^{c}}(1-p_{j})$
Функція розподілу ймовірностей (cdf)	$\sum \limits _{l=0}^{k}\sum \limits _{A\in F_{l}}\prod \limits _{i\in A}p_{i}\prod \limits _{j\in A^{c}}(1-p_{j})$
Середнє	$\sum \limits _{i=1}^{n}p_{i}$
Медіана	{{{median}}}
Мода	{{{mode}}}
Дисперсія	$\sigma ^{2}=\sum \limits _{i=1}^{n}(1-p_{i})p_{i}$
Коефіцієнт асиметрії	${\frac {1}{\sigma ^{3}}}\sum \limits _{i=1}^{n}(1-2p_{i})(1-p_{i})p_{i}$
Коефіцієнт ексцесу	${\frac {1}{\sigma ^{4}}}\sum \limits _{i=1}^{n}(1-6(1-p_{i})p_{i})(1-p_{i})p_{i}$
Ентропія	{{{entropy}}}
Твірна функція моментів (mgf)	$\prod \limits _{j=1}^{n}(1-p_{j}+p_{j}e^{t})$
Характеристична функція	{{{char}}}

У теорії ймовірностей та статистиці біноміальний розподіл Пуассона є дискретним ймовірнісним розподілом суми незалежних випробувань Бернуллі, які не обов'язково мають однаковий розподіл. Концепція отримала назву на честь Сімеона Дені Пуассона.

Інакше кажучи, це ймовірнісний розподіл кількості успіхів у колекції з $n$ незалежних експериментів з можливими відповідями "так" або "ні" та імовірностями успіху $p_{1},p_{2},\dots ,p_{n}$. Звичайний біноміальний розподіл є спеціальним випадком біноміального розподілу Пуассона, коли всі ймовірності успіху однакові, тобто $p_{1}=p_{2}=\cdots =p_{n}$.

Визначення

Функція ймовірностей

Імовірність $k$ успішних випробувань із загальної кількості $n$ можна записати у вигляді суми

$\Pr(K=k)=\sum \limits _{A\in F_{k}}\prod \limits _{i\in A}p_{i}\prod \limits _{j\in A^{c}}(1-p_{j})$,

де $F_{k}$ - це множина всіх підмножин з $k$ ∈ $\mathbb {Z}$, вибрані з колекції $\{1,2,3,...,n\}$. До прикладу розглянемо випадок, якщо $n$ = $3$, тоді $F_{2}=\left\{\{1,2\},\{1,3\},\{2,3\}\right\}$. $A^{c}$ є доповненням до $A$, тобто $A^{c}=\{1,2,3,\dots ,n\}\setminus A$ .

Множина $F_{k}$ міститиме${\frac {n!}{(n-k)!k!}}$ елементів. Цю суму не можливо обчислити на практиці, якщо кількість випробувань $n$ мала (наприклад, якщо $n$ = $30$, $F_{15}$ містить понад $10$^$20$ елементів). Однак існують інші, більш ефективні способи обчислення $\Pr(K=k)$ .

Поки жодна з ймовірностей успіху дорівнюватиме одиниці, обчислити ймовірність $k$ успіхів можливо за рекурсивною формулою

$\Pr(K=k)={\begin{cases}\prod \limits _{i=1}^{n}(1-p_{i})&k=0\\{\frac {1}{k}}\sum \limits _{i=1}^{k}(-1)^{i-1}\Pr(K=k-i)T(i)&k>0\\\end{cases}}$,

де

$T(i)=\sum \limits _{j=1}^{n}\left({\frac {p_{j}}{1-p_{j}}}\right)^{i}.$

Рекурсивна формула не є чисельно стійкою, тому, якщо кількість випробувань $n$ перевищувати $20$ їй треба шукати заміну. Альтернативою може стати використання алгоритму «розділяй і володарюй»: якщо ми припустимо, що $n=2^{b}$ є степенем двійки, тоді позначивши через $f(p_{i:j})$ біном Пуассона $p_{i},\dots ,p_{j}$, а оператор згортки через $*$, маємо наступне: $f(p_{1:2^{b}})=f(p_{1:2^{b-1}})*f(p_{2^{b-1}+1:2^{b}})$ .

Іншою можливістю є використання дискретного перетворення Фур'є .

$\Pr(K=k)={\frac {1}{n+1}}\sum \limits _{l=0}^{n}C^{-lk}\prod \limits _{m=1}^{n}\left(1+(C^{l}-1)p_{m}\right)$,

де $C=\exp \left({\frac {2i\pi }{n+1}}\right)$ і $i={\sqrt {-1}}$ .

Існують й інші методи обчислення ймовірностей описані в «Статистичних застосуваннях біноміального Пуассона та умовного розподілу Бернуллі» Чена та Лю.

Кумулятивна функція розподілу

Кумулятивну функцію розподілу (CDF) можна виразити як:

$\Pr(K\leq k)=\sum _{l=0}^{k}\sum \limits _{A\in F_{l}}\prod \limits _{i\in A}p_{i}\prod \limits _{j\in A^{c}}(1-p_{j})$,

де $F_{l}$ — це множина всіх підмножин розміру 𝑙, які можна вибрати з колекції $\{1,2,3,...,n\}$.

Властивості

Середнє значення та дисперсія

Оскільки змінна, що розподілена за законом біноміального розподілу Пуассона, є сумою $n$ незалежних змінних, що розподілені за законом Бернуллі, її середнє значення та дисперсія будуть просто сумою середнього значення та дисперсії цих $n$ розподілених змінних Бернуллі:

$\mu =\sum \limits _{i=1}^{n}p_{i}$,

$\sigma ^{2}=\sum \limits _{i=1}^{n}(1-p_{i})p_{i}$.

Для фіксованого середнього ($\mu$) та розміру ($n$), дисперсія максимальна, коли всі ймовірності успіху однакові (біноміальний розподіл). Коли середнє значення фіксоване, дисперсія обмежена зверху дисперсією розподілу Пуассона з тим самим середнім значенням, яке досягається асимптотично при наближенні $n$ до нескінченності.

Нерівність Чернова

Ймовірність того, що біноміальний розподіл Пуассона стає великим, може бути обмежена за допомогою його функції згортки моментів наступним чином (дійсна, коли $s\geq \mu$ і для будь-якого $t>0$ ):

${\begin{aligned}\Pr[S\geq s]&\leq \exp(-st)\operatorname {E} \left[\exp \left[t\sum _{i}X_{i}\right]\right]\\&=\exp(-st)\prod _{i}(1-p_{i}+e^{t}p_{i})\\&=\exp \left(-st+\sum _{i}\log \left(p_{i}(e^{t}-1)+1\right)\right)\\&\leq \exp \left(-st+\sum _{i}\log \left(\exp(p_{i}(e^{t}-1))\right)\right)\\&=\exp \left(-st+\sum _{i}p_{i}(e^{t}-1)\right)\\&=\exp \left(s-\mu -s\log {\frac {s}{\mu }}\right),\end{aligned}}$

де ${\textstyle t=\log \left(s/\mu \right)}$ . Подібно до хвостових меж біноміального розподілу .

Обчислювальні методи

За посиланням наведене обговорення методу оцінки функції маси ймовірності біноміального розподілу Пуассона. На ньому базуються наступні програмні реалізації:

• Пакет R poibin був наданий разом із документом , який доступний для обчислення cdf, pmf, квантильної функції та генерації випадкових чисел біноміального розподілу Пуассона. Для обчислення PMF можна вказати алгоритм DFT або рекурсивний алгоритм для обчислення точного PMF, а також можна вказати методи апроксимації з використанням нормального розподілу та розподілу Пуассона.
• poibin — реалізація Python — може обчислювати PMF і CDF, для цього використовує метод DFT, описаний у статті.

Дивись також

• Теорема Ле Кама

Список літератури

[[Категорія:Факторіали і біноміальні коефіцієнти]] [[Категорія:Дискретні розподіли]]