Характеристична функція випадкової величини

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Під характеристи́чною фу́нкцією \!\psi(t) випадкової величини \!X розуміють математичне сподівання випадкової величини \!e^{itX}:

\!\psi(t)=M(e^{itX}) \qquad (1),

де \!t — дійсний параметр.

Якщо \!F(x) — функція розподілу \!X, то

\!\! \psi(t)=\int_{-\infty}^{\infty} e^{i\; t\; x}\, dF(x)

У випадку дискретного розподілу

\psi(t)=\sum_{k=0}^\infty e^{i\; t\; x_k}\, p_k

(ряд Фур'є з коефіцієнтами \!p_k). У випадку неперервного розподілу

\!\psi(t)=\int_{-\infty}^{\infty} e^{i\; t\; x}\, f(x)dx \,\!

(перетворення Фур'є)

Дискретні та абсолютно неперервні випадкові величини[ред.ред. код]

\phi_X(t) = \sum_{k=1}^{\infty} e^{itx_k}\, p_k.

Приклад. Нехай X має розподіл Бернуллі. Тоді

\phi_X(t) = e^{it \cdot 1} \cdot p + e^{it \cdot 0} \cdot q = p e^{it} + q.
\phi_X(t) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{itx}\, f_X(x)\, dx.

Приклад. Нехай X \sim U[0,1] має стандартний неперервний рівномірний розподіл. Тоді

\phi_X(t) = \int\limits_{0}^{1} e^{itx} \cdot 1\, dx = \left.\frac{e^{itx}}{it}\right\vert_0^1 = \frac{e^{it}-1}{it}.

Властивості характеристичних функцій[ред.ред. код]

Для будь-якої характеристичної функції \!\psi(t)

\!\psi(0)=1 \qquad  |\psi(t)| \le 1 \qquad (-\infty < T < \infty),

Якщо \!Y=aX+b\; з константами \!a і \!b, то \!\psi_Y(t)=\psi_X (at)e^{i\; b\; t} (\!\psi_X — характеристична функція \!X).

Якщо \!X \! є \!n\! раз диференційовною по \!t, то при \!k \le n

\!\psi^{(k)}(0)=i^kM\; X^k.

Формули перетворення і теорема єдиності[ред.ред. код]

Нехай \!F(x) — функція розподілу, а \!\psi(t) — характеристична функція випадкової величиини \!X. Якщо \!x_1, \!x_2 — точки неперервності \!F(x), то

\!F(x_2)-F(x_1)={1 \over {2 \pi}} \lim_{c \to \infty} \int_\infty^\infty {{e^{itx_1}-e^{itx_2}} \over it} \ \psi(t) dt

Якщо \!X — неперервна, а \!f(x) — густина \!F(x), то спрощується

\!f(x)={1 \over {2 \pi}} \int_\infty^\infty e^{itx} \psi(t)\; dt

Таким чином, густина отримується з характеристичної функції зворотним перетворенням Фур'є.

з формули перетворення (рос. обращения) випливає, що функція розподілу однозначно визначається її характеристичною функцією.

Якщо, наприклад, якимось чином для \!X отримано характеристичну функцію \!e^{iat- {\sigma^2t^2 \over 2}}, то, згідно з теоремою єдиності і \!X\in N (x; a, \sigma)

Гранична теорема для характеристичних функцій[ред.ред. код]

Послідовність \left \{ F(x) \right \} функцій розподілу називається збіжною в основному до функції розподілу \!F(x), якщо у всіх точках неперервності

\!\lim_{n \to \infty} F_n(x)=F(x)

У дискретному випадку збіжність в основному \!F_n(x) до \!F(x), означає, що відповідні функції збігаються: \!p_k^n \rightarrow p_k для всіх \!k.

У неперервному випадку для збіжності в основному випливає (якщо \!f_n(x) неперервні) \!f_n(x) \rightarrow f(x) для всіх \!x.

Якщо послідовність \left \{ F_n(x) \right \} функції розподілу збігається в основному до функції розподілу \!{F(x)}, то послідовність відповідних характеристичних функцій \left \{ \psi_n(t) \right \} збігається до \!{\psi(t)} — характеристичної функції \!{F(x)}. Ця збіжність рівномірна у кожному скінченному інтервалі.

Велике значення має зворотна теорема: якщо послідовність характеристичних функцій \left \{ \psi_n(t) \right \} збігається до неперервної функції \!\psi(t), то послідовність відповідних функцій розподілу \left \{ F_n(x) \right \} збігається до деякої функції розподілу \!F(x) і \!\psi(t) є характеристичною функцією \!F(x)).

Твірні функції[ред.ред. код]

У випадку дискретних випадкових величин, які можуть приймати лише значення \!0,\; 1,\; \ldots часто замість характеристичних функцій використовують твірні функції.

Нехай \!p_k є функцією ймовірностей деякої дискретної випадкової величини \!X вказаного типу, а \!z — комплексний параметр. Тоді

\!\phi(t)= \sum_{k} p_k \; z^k

називається твірною функцією випадкової величини \!X. Функція \!\phi(z) — аналітична в \!|z| < 1. Її границя при \!z \rightarrow e^{it} дає характеристичну функцію \!F(x).

Твірні функції мають властивості, аналогічні властивостям характеристичних функцій.

Характеристичні функції багатомірних випадкових величин[ред.ред. код]

Під характеристичною функцією n-мірної випадкової величини розуміють математичне сподівання величини \!\exp \sum_k t_kX_k:

\!\psi(t_1, \ldots, t_n)=M{\exp{i \sum_k^n t_kX_k}} ,

де \!t_1,...,, \!t_n — дійсні параметри.

Дивіться також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]

  • Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. — М.: Наука, 1980. — 976 с., ил.