Коефіцієнт ексцесу

Графік щільності розподілу Пірсона VII типу; нескінченний ексцес (червона), 2 (синя), та 0 (чорна) криві.

Коефіцієнт ексцесу (англ. Kurtosis) — числова характеристика розподілу ймовірностей дійсної випадкової величини. Коефіцієнт ексцесу характеризує «крутість», тобто, стрімкість підвищення кривої розподілу у порівнянні з нормальною кривою.

Визначення

Ексцесом $\gamma_2$ (за Фішером) теоретичного розподілу називають характеристику, що обчислюється за наступною формулою:

$\gamma_2 = \frac{\mu_4}{\sigma^4} - 3$,

де $\mu_4$ — центральний момент четвертого порядку, $\sigma^2$ — дисперсія.

Оцінка ексцесу

Оцінка ексцесу (за Фішером) $\gamma_2$ дорівнює:

$g_2 = \frac{k_4}{k_2^2},$

де $k$ є k-статистиками.

Дисперсія оцінки для нормального розподілу дорівнює:

$\mathrm{var}(g_2) \approx \frac{24}{N}.$

Коефіцієнт ексцесу Пірсона

Коефіцієнт ексцесу Пірсона $\beta_2$ (англ. Pearson Kurtosis) дорівнює:

$\beta_2 \equiv \frac{\mu_4}{\mu_2^2}.$

Властивості

Для нормального розподілу $(\mu_4/\sigma^4) = 3$; із чого випливає, що ексцес нормального розподілу дорівнює нулю. Якщо ексцес деякого розподілу відмінний від нуля, то крива щільності цього розподілу відрізняється від кривої щільності нормального розподілу: якщо ексцес додатній, то крива теоретичного має вищу та «гострішу» вершину ніж крива нормального; якщо ексцес від'ємний, то крива теоретичного має нижчу та «плоскішу» вершину ніж крива нормального. При цьому вважається, що нормальний і теоретичний розподіли мають однакові математичні сподівання та дисперсії.

Дивіться також

• Коефіцієнт асиметрії