Коефіцієнт ексцесу

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Графік щільності розподілу Пірсона VII типу; нескінченний ексцес (червона), 2 (синя), та 0 (чорна) криві.

Коефіцієнт ексцесу (англ. Kurtosis) — числова характеристика розподілу ймовірностей дійсної випадкової величини. Коефіцієнт ексцесу характеризує «крутість», тобто, стрімкість підвищення кривої розподілу у порівнянні з нормальною кривою.[1]

Визначення[ред.ред. код]

Ексцесом \gamma_2 (за Фішером) теоретичного розподілу називають характеристику, що обчислюється за наступною формулою:[1]

\gamma_2 = \frac{\mu_4}{\sigma^4} - 3,

де \mu_4 — центральний момент четвертого порядку, \sigma^2 — дисперсія.

Оцінка ексцесу[ред.ред. код]

Оцінка ексцесу (за Фішером) \gamma_2 дорівнює:[2]

g_2 = \frac{k_4}{k_2^2},

де k є k-статистиками.

Дисперсія оцінки для нормального розподілу дорівнює:

\mathrm{var}(g_2) \approx \frac{24}{N}.

Коефіцієнт ексцесу Пірсона[ред.ред. код]

Коефіцієнт ексцесу Пірсона \beta_2 (англ. Pearson Kurtosis) дорівнює:[2]

\beta_2 \equiv \frac{\mu_4}{\mu_2^2}.

Властивості[ред.ред. код]

Для нормального розподілу (\mu_4/\sigma^4) = 3; із чого випливає, що ексцес нормального розподілу дорівнює нулю. Якщо ексцес деякого розподілу відмінний від нуля, то крива щільності цього розподілу відрізняється від кривої щільності нормального розподілу: якщо ексцес додатній, то крива теоретичного має вищу та «гострішу» вершину ніж крива нормального; якщо ексцес від'ємний, то крива теоретичного має нижчу та «плоскішу» вершину ніж крива нормального. При цьому вважається, що нормальний і теоретичний розподіли мають однакові математичні сподівання та дисперсії.[1]

Посилання[ред.ред. код]

  1. а б в Гмурман В. Е. (2003). Теория вероятностей и математическая статистика (вид. 9-те). Высшая школа. 
  2. а б Weisstein, Eric W. (1999). CRC concise encyclopedia of mathematics. Boca Raton, Fla.: CRC Press. ISBN 0-8493-9640-9. 

Дивіться також[ред.ред. код]