Функція розподілу ймовірностей

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Функція розподілу ймовірностей — В теорії ймовірностей це функція, яка повністю описує розподіл ймовірностей випадкової величини.

Нехай (\Omega,\mathcal{A},P) — ймовірнісний простір, в якому \Omega — множина елементарних подій, \mathcal{A} — сукупність підмножин \Omega, що утворюють \sigma-алгебру, множини з \mathcal{A} називаються випадковими подіями, P — міра на \mathcal{A}, що задовольняє умову P(\Omega)=1. Функція F_\xi:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, визначена \forall x\in\mathbb{R} рівністю

F_\xi (x)=P\{\xi\le x\},

називається функцією розподілу ймовірностей або кумулятивною функцією розподілу ймовірностей випадкової величини ξ. Вираз в правій частині рівності є ймовірністю того, що випадкова величина \xi набуває значень менших або рівних x.

Властивості[ред.ред. код]

Зверху вниз:
функція розподілу для дискретного розподілу ймовірностей, для неперервного розподілу та для розподілу що містить дискретну та неперервну частини.

Якщо \xi є дискретною випадковою величиною, що набуває значень x_1, x_2, ... із ймовінсітю p_i = P(x_i), то функція розподілу для \xi буде розривною в точках x_i і неперервною поміж ними:

F(x) = \operatorname{P}(\xi \leq x) = \sum_{x_i \leq x} \operatorname{P}(\xi = x_i) = \sum_{x_i \leq x} p(x_i)

Легко бачити, що:

З властивостей ймовірності випливає, що для всіх x \in \mathbb{R} і для всіх a,b\in \mathbb{R}, таких що a < b матимуть місце співвідношення:

  • P(\xi > x ) = 1 - F_{\xi}(x)\,;
  • P(\xi < x ) = F_{\xi}(x-)\,;
  • P(\xi \ge x ) = 1 - F_{\xi}(x-)\,;
  • P(\xi = x ) = F_{\xi}(x) - F_{\xi}(x-)\,;
  • P(a < \xi \le b ) = F_{\xi}(b) - F_{\xi}(a)\,;
  • P(a \le \xi \le b) = F_{\xi}(b) - F_{\xi}(a-)\,;
  • P(a < \xi < b ) = F_{\xi}(b-) - F_{\xi}(a)\,;
  • P(a \le \xi < b ) = F_{\xi}(b-) - F_{\xi}(a-)\,.

Числові характеристики[ред.ред. код]

Характеристики одновимірних розподілів[ред.ред. код]

Для одновимірних розподілів ймовірностей використовують такі числові характеристики:[1]

  1. Квантилі. Квантиль порядку P одновимірного розподілу — це таке значення x_P випадкової величини x, для якого:
    P\{ x < x_P \} = \Phi(x_P) = P \qquad (0 < P < 1).
    x_{1/2} — це медіана розподілу. Квантилі x_{1/4}, x_{1/2}, x_{3/4}, децилі x_{0.1}, x_{0.2}, \ldots, x_{0.9} та процентилі x_{0.01}, x_{0.02}, \ldots, x_{0.99} ділять область змін x на 4, 10, та 100 інтервалів, потрапляння в які мають однакові ймовірності.
    Квантилі існують в кожного розподілу ймовірностей, але вони не обов'язково однозначно визначені. Таблиці квантилів застосовують в статистиці.
  2. Характеристики положення (центру розподілу).
    • Математичне сподівання.
    • Медіана.
    • Мода. Мода неперервного розподілу — це точка максимуму щільності розподілу ймовірностей. Мода дискретного розподілу це таке спектральне значення випадкової величини, що наступне та попереднє значення мають менші ймовірності.
      Розподіли, що мають дві або більше мод називають двомодальними, тримодальними, або багатомодальними.
  3. Характеристики розсіяння.
  4. Характеристики асиметрії та ексцесу.

Посилання[ред.ред. код]

  1. Корн Г., Корн Т. (1984). «14.7-4». Справочник по математике для научних работников и инженеров (рос.) (вид. друге). Москва: Наука. 

Література[ред.ред. код]

  • Скороход А.В. (1990). Лекції з теорії випадкових процесів (українська). Київ: Либідь. ISBN 5-11-001701-8.  Текст «пубмісяць

» проігноровано (довідка)

Див. також[ред.ред. код]