Подільна група

Подільна група — група $G$, така що для будь-яких $n\in \mathbb {N}$ і $g\in G$ рівняння

$x^{n}=g$

має розв'язок. Часто група вважається абелевою, а умова записується в адитивній нотації як $nx=g$.

Група $A$ називається $p$-подільною ($p$ — просте число), якщо для будь-якого $a\in A$ рівняння $px=a$має розв'язок в $A$.

Приклади

• Група $(\mathbb {Q} ,+)$ всіх раціональних чисел і всі її факторгрупи, зокрема $\mathbb {Q} /\mathbb {Z} .$
• Будь-які циклічні і загалом скінченнопороджені абелеві групи не є подільними.
• Стандартні групи $(\mathbb {Q} ^{n},+),(\mathbb {R} ,+),(\mathbb {C} ,+),(\mathbb {R} ^{n},+),(\mathbb {C} ^{n},+)$ є подільними.
• $p$-примарна квазіциклічна група $\mathbb {Z} _{p^{\infty }}$, тобто група, породжена зліченним набором елементів $a_{0},\,a_{1},\,\ldots ,\,a_{n},\,\ldots$, які задовольняють умову

$pa_{0}=0,\,pa_{1}=a_{0},\,\ldots ,\,pa_{n}=a_{n-1},\,\ldots .$ Еквівалентно цю групу можна описати як $\mathbb {Z} [1/p]/\mathbb {Z} .$

• Мультиплікативна група комплексних чисел $\mathbb {C} ^{*}.$
• Прикладами некомутативних подільних груп є унітарні групи U(n). Кожна матриця із такої групи є діагоналізовною за допомогою унітарної матриці. Тоді якщо в усіх діагональних елементах взяти корінь довільного цілого степеня одержується унітарна матриця, що є коренем відповідного рівняння. Подібним чином подільними також є спеціальні унітарні групи SU(n) оскільки корені на діагоналі можна завжди обрати так щоб їх добуток був рівним 1.
• Мультиплікативна група кватерніонів $\mathbb {H} ^{\times }=\left(\mathbb {H} \backslash \{0\},\cdot \right)$ теж є некомутативною подільною групою. Зокрема одиничні кватерніони ізоморфні групі:

$\operatorname {SU} (2)=\left\{{\begin{pmatrix}\alpha &-{\overline {\beta }}\\\beta &{\overline {\alpha }}\end{pmatrix}}:\ \ \alpha ,\beta \in \mathbf {C} ,|\alpha |^{2}+|\beta |^{2}=1\right\}~,$

Ізоморфізм здійснюється за допомогою:

$\mathbf {1} ={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},\quad \mathbf {i} ={\begin{pmatrix}i&0\\0&-i\end{pmatrix}},\quad \mathbf {j} ={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}},\quad \mathbf {k} ={\begin{pmatrix}0&i\\i&0\end{pmatrix}}~.$

Тому результат для кватерніонів є частковим випадком попереднього прикладу.

Властивості подільних груп

• Гомоморфні образи і факторгрупи подільної групи є подільними групами.

Якщо $\phi :G\to H$ є гомоморфізмом груп то для елемента $\phi (a)\in H$ елемент $\phi (b)$ є розв'язком рівняння $x^{n}=\phi (a),$ де b є розв'язком рівняння $x^{n}=a$ (він існує, оскільки G є подільною).

• Абелева група G є подільною тоді і тільки тоді, коли вона є ін'єктивним об'єктом у категорії абелевих груп, тобто ін'єктивним $\mathbb {Z}$- модулем. З означення ін'єктивного модуля в термінах теорії груп це означає, що G є подільною тоді і тільки тоді, якщо для довільних абелевих груп $U\subset H$ і гомоморфізму $\phi :U\to G$ існує гомоморфізм $\psi :H\to G,$ такий що $\psi |_{U}:\phi .$

Якщо G не є подільною то існують $n\in \mathbb {N} ,\ g\in G,$ що рівняння $nx=g$ не має розв'язку. Нехай тепер $n\mathbb {Z} =U\subset H=\mathbb {Z} .$ Якщо задати гомоморфізм з U в G, для якого образом n є g, то для будь-якого продовження цього гомоморфізму на H образом 1 має бути елемент, що є розв'язком рівняння $nx=g.$ Оскільки такого елемента не існує, то і не існує відповідного продовження гомоморфізму і G не є ін'єктивним об'єктом.

Нехай тепер G є подільною. Розглянемо множину $\Phi$ всіх підгруп у H, що містять U і для яких існує гомоморфізм що продовжує гомоморфізм $\phi :U\to G.$ Ця множина непуста оскільки їй належить U. Будь-яка лінійно впорядкована підмножина e $\Phi$ має верхню межу, що рівна об'єднанню підгруп. Тоді згідно леми Цорна у $\Phi$ існує максимальний елемент H^' із гомоморфізмом $\psi ':H'\to G,$ що продовжує $\phi$. Припустимо, що H^' є власною підгрупою у H і $h\in H\setminus H'.$ Якщо $\langle h\rangle \cap H'=\{0\}$ то $\psi '$ можна продовжити на Якщо $H'+\langle h\rangle$ взявши довільний образ для h. Якщо ж $\langle h\rangle \cap H'$ містить елемент nh де n — найменше з таких додатних чисел, то за образ h можна взяти розв'язок рівняння $x^{n}=\psi '(nh).$ В обох випадках існує продовження на більшу підгрупу, що суперечить максимальності. Отже H' = H і продовження існує на всю групу H. Тобто G є ін'єктивним об'єктом.

Зауваження. Умова комутативності в даному випадку є важливою. Єдиним ін'єктивним об'єктом категорії груп є одинична група.

• Абелева група є подільною тоді і тільки тоді, коли вона є $p$-подільною при кожному простому $p$.
• Будь-яка пряма сума подільних абелевих груп є подільною групою.
• Кожна подільна підгрупа є прямим доданком групи.
• Кожна абелева група є ізоморфною підгрупі подільної абелевої групи.

Група $\mathbb {Z}$ є підгрупою подільної групи $\mathbb {Q} ,$ а тому пряма сума $(\oplus \mathbb {Z} _{i})_{i\in I}$ є підгрупою $(\oplus \mathbb {Q} _{i})_{i\in I},$ що є подільною групою, як пряма сума подільних груп. Оскільки будь-яка абелева група є факторгрупою деякої $(\oplus \mathbb {Z} _{i})_{i\in I},$ то вона є підгрупою деякої факторгрупи $(\oplus \mathbb {Q} _{i})_{i\in I},$ що є подільною, як факторгрупа подільної групи.

• Для кожної абелевої групи G існує єдина з точністю до ізоморфізму подільна група вкладення G в яку є істотним мономорфізмом. Ця група називається ін'єктивною оболонкою групи G. Ін'єктивна оболонка є мінімальним елементом за включенням серед подільних груп у які існує вкладення групи G.
• Будь-яка абелева група $A$ розкладається в пряму суму $A=D\oplus R$, де $D$ - подільна група (вона називається подільною частиною групи $A$), а $R$ - редукована група, тобто група, яка не містить ненульових подільних підгруп.
• Якщо $A$ є кільцем і $T$ подільною групою, то $\mathrm {Hom} _{\mathbf {Z} }(A,T)$ є ін'єктивним $A$-модулем.

Будова подільних груп

Нехай G — подільна група. Тоді підгрупа кручення Tor(G) G є подільною. Оскільки подільна група є ін'єктивним модулем, Tor(G) є прямим доданком G. Тому

$G=\mathrm {Tor} (G)\oplus G/\mathrm {Tor} (G).$

Як факторгрупа подільної групи G/Tor(G) є подільною. Також вона є групою без кручень і тому є векторним простором над Q. Тож існує множина I, для якої

$G/\mathrm {Tor} (G)=\oplus _{i\in I}\mathbb {Q} =\mathbb {Q} ^{(I)}.$

Структура підгрупи кручення є складнішою. Для всіх простих чисел p існує множина $I_{p}$, для якої

$(\mathrm {Tor} (G))_{p}=\oplus _{i\in I_{p}}\mathbb {Z} [p^{\infty }]=\mathbb {Z} [p^{\infty }]^{(I_{p})},$

де $(\mathrm {Tor} (G))_{p}$ є p-примарна компонента Tor(G).

Якщо множину простих чисел позначити P, то:

$G=\left(\bigoplus _{p\in \mathbf {P} }\mathbb {Z} [p^{\infty }]^{(I_{p})}\right)\oplus \mathbb {Q} ^{(I)}.$

Потужності множин I і I_p для p∈P є однозначно визначеними G.

Див. також

• Вільна абелева група
• Ін'єктивний модуль
• Ін'єктивний об'єкт

Джерела

• Джозеф Ротман. An Introduction to the Theory of Groups. — 4th. — Springer (Graduate Texts in Mathematics), 1994. — 532 с. — ISBN 978-0387942858.(англ.)
• И. Букур, А. Деляну Введение в теорию категорий и функторов. — М.: Мир, 1972.
• Fuchs, László (1970). Infinite Abelian Groups Vol 1. Academic Press.
• Griffith, Phillip A. (1970). Infinite Abelian group theory. Chicago Lectures in Mathematics. University of Chicago Press. ISBN 0-226-30870-7.
• Kaplansky, Irving (1965). Infinite Abelian Groups. University of Michigan Press.
• Tennison, B. R. (1975), Sheaf theory, Cambridge University Press, MR 0404390