Лінійно впорядкована множина

Лінійно впорядкована множина (ланцюг) — частково впорядкована множина (множина на якій задане $\leqslant$ відношення нестрогого порядку), в якій для будь-яких двох елементів $a$ і $b$ виконується $a\leqslant b$ чи $b\leqslant a.$

Тобто, для $\leqslant$ вимога рефлексивності посилена до вимоги повноти.

Частковий випадок лінійно впорядкованої множини — цілком впорядкована множина. Іншими словами: лінійний порядок = частковий порядок з умовою повноти.

Лінійний порядок використовується в

• теорії ґраток,
• теорії порядку,
• теорії категорій.

Ланцюг

Термін ланцюг іноді є синонімом лінійно впорядкованої множини, проте може також використовуватись для означення підмножини деякоїмножини з частковим порядком. Останнє означення має критичне значення у лемі Цорна.

Хай множина всіх підмножин множини цілих, частково впорядкована за відношенням підмножини ($\subset$). Тоді множина $\{ I_n: n \in \mathbb{N} \}$, де I_n - множина натуральних чисел менших за n - ланцюг, лінійно впорядокований за $\subset$: $n \leq k \Rightarrow I_n \subset I_k$.

Приклади

• Кардинальні та порядкові числа є лінійно впорядкованими (точніше цілком впорядкованими).
• Множина $\R$ дійсних чисел із звичайним відношенням порядку є лінійно впорядкованою множиною. Це — надзвичайно важлива властивість дійсних чисел. Виявляється, що існування відношення порядку сумісного з арифметичними операціями і задовільняючого певним додатковим вимогам може буде застосовано для визначення (або характерізації) поля дійсних чисел.

• Натуральні числа, цілі числа, раціональні числа, алгебраїчні числа, ірраціональні числа тощо всі є підмножинами дійсних чисел, тому утворюють лінійно впорядковані множини зі звичайним відношенням порядку. Кожна з цих множин є єдиним прикладом найменшої лінійно впорядкованої множини, що має деяку додаткову властивість:
  • Натуральні числа — найменша лінійно впорядкована множина, що не має верхньої межі.
  • Цілі числа — найменша лінійно впорядкована множина, що не має ні верхньої, ні нижньої межі.
  • Раціональні числа — найменша лінійно впорядкована множина, що не має ні верхньої, ні нижньої межі та є щільною.
  • Дійсні числа — найменша лінійно впорядкована множина, що не має ні верхньої, ні нижньої межі та є зв'язною.

Джерела

• Хаусдорф Ф. (1937). Теория множеств. Москва, Ленинград: ОНТИ. с. 304. ISBN 978-5-382-00127-2. 
• Куратовский К., Мостовский А. (1970). Теория множеств. Москва: Мир. с. 416. 
• Александров П.С. (1977). Введение в теорию множеств и общую топологию. Москва: Наука. с. 368. ISBN 5354008220.