Лінійно впорядкована множина

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Лінійно впорядкована множина (ланцюг) — частково впорядкована множина (множина на якій задане \leqslant відношення нестрогого порядку), в якій для будь-яких двох елементів a і b виконується a\leqslant b чи b\leqslant a.

Тобто, для \leqslant вимога рефлексивності посилена до вимоги повноти.

Частковий випадок лінійно впорядкованої множини — цілком впорядкована множина. Іншими словами: лінійний порядок = частковий порядок з умовою повноти.

Лінійний порядок використовується в

Ланцюг[ред.ред. код]

Термін ланцюг іноді є синонімом лінійно впорядкованої множини, проте може також використовуватись для означення підмножини деякоїмножини з частковим порядком. Останнє означення має критичне значення у лемі Цорна.

Хай множина всіх підмножин множини цілих, частково впорядкована за відношенням підмножини (\subset). Тоді множина \{ I_n: n \in \mathbb{N} \}, де In - множина натуральних чисел менших за n - ланцюг, лінійно впорядокований за \subset: n \leq k \Rightarrow I_n \subset I_k.

Приклади[ред.ред. код]

  • Кардинальні та порядкові числа є лінійно впорядкованими (точніше цілком впорядкованими).
  • Множина \R дійсних чисел із звичайним відношенням порядку є лінійно впорядкованою множиною. Це — надзвичайно важлива властивість дійсних чисел. Виявляється, що існування відношення порядку сумісного з арифметичними операціями і задовільняючого певним додатковим вимогам може буде застосовано для визначення (або характерізації) поля дійсних чисел.

Джерела[ред.ред. код]