Функція Гауса

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Нормована Гаусова крива з математичним сподіванням μ і дисперсією σ2. Відповідні параметри є a= 1/(σ√(2π)), b=μ, c

У математиці функцією Гауса (названа за іменем Карла Фрідріха Гауса) є функція, що виражається залежністю

f(x) = a e^{- { (x-b)^2 \over 2 c^2 } }

для дійсних чисел константа a > 0, b, c > 0, і e ≈ 2.718281828 (Число Ейлера).

Графік функції Гауса є характерною симетричною кривою у формі дзвону, що швидко спадає на нескінченності. Параметр a є висотою піку кривої, b є позицією центру, і c контролює ширину «дзвону».

Функція Гауса широко використовується в:

Властивості[ред.ред. код]

Гаусова функція виникає, коли діють експоненційною функцією на квадратичну функцію. Ґаусова функція є такою, що її логарифм дає квадратичну фунцію.

Через параметр c можна виразити ширину піку (FWHM) на половині його висоти згідно з формулою: \mathrm{FWHM} = 2 \sqrt{2 \ln 2}\ c = 2.35482... \cdot c.

Гаусова функція є аналітичною, і її границя при x→±∞ є 0.

Визначений інтеграл від ґаусової функції дає функцію помилок

\operatorname{erf}(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^x e^{-t^2} dt.

Визначений інтеграл з нескінченними границями має властивість

\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\,dx=\sqrt{\pi}

Цей інтеграл рівний 1 тоді і тільки тоді, коли a = 1/(c√(2π)), і в цьому випадку Гаусіан є щільністю нормального розподілу випадкової величини з математичним очікуванням μ=b і дисперсією σ2=c2.

При перетворенні Фур'є функції Гауса з параметрами a, b=0 і c отримуємо іншу функцію Гауса, з параметрами ac, b=0 і 1/c. Отже, як частковий випадок, функція Гауса з b=0 і c=1 є інваріантом щодо перетворення Фур'є (вони є власними функціями перетворення Фур'є з власним значенням 1).

Згортка двох гаусіанів є також гаусіаном, із відхиленням c, що рівне середньому квадратичному відхилень тих двох гаусіанів,  c = \sqrt{c_1^2 + c_2^2} .

Двовимірна функція Гауса[ред.ред. код]

Графік функції Гауса означеної на двовимірній множині

Частковим прикладом формули двовимірної функції Гауса є

f(x,y) = A e^{- \left(\frac{(x-x_o)^2}{2\sigma_x^2} + \frac{(y-y_o)^2}{2\sigma_y^2} \right)}.

Тут коефіцієнт A називається амплітудою, xo,yo визначає центр і σx, σy визначають «силу розмиття» в няпрямі x і y. Фігура ліворуч утворена при A = 1, xo = 0, yo = 0, σx = σy = 1.

В загальному, двовимірна ґаусова функція описується як

f(x,y) = A e^{- \left(a(x - x_o)^2 + 2b(x-x_o)(y-y_o) + c(y-y_o)^2 \right)}

Де матриця

\left[\begin{matrix} a & b \\ b & c \end{matrix}\right]

є додатно визначеною.

Використовуючи це формулювання, графік ліворуч може бути побудований при параметрах: A = 1, (xo, yo) = (0, 0), a = c = 1, b = 0.

Посилання[ред.ред. код]