Головне розшарування

У математиці, зокрема топології та диференціальній геометрії головним розшаруванням називається об'єкт який локально виглядає як прямий добуток X × G деякого простору X і групи G. Залежно від ситуації X може бути, наприклад, топологічним простором або диференційовним многовидом, а G відповідно топологічною групою або групою Лі.

Сам прямий добуток є окремим випадком головного розшарування який називається тривіальним головним розшаруванням.

Окрім топології й диференціальної геометрії де вони є одними з найважливіших об'єктів вивчення головні розшарування також широко використовуються в теоретичній фізиці зокрема калібрувальних теоріях.

Формальне визначення

Єдиного стандартного визначення головного розшарування немає. Як і для деяких інших видів розшарувань у математичній літературі існує декілька визначень, що відрізняються декількома моментами. Нижче подано один з поширених варіантів визначення.

Нехай $\left(E,\pi ,B,F\right)$⁣ — ⁣локально тривіальне розшарування, де $E$, $B$ і $F$ є топологічними просторами, що називаються загальним простором, базовим простором і шаром відповідно, а $\pi \colon E\to B$ — неперервне сюр'єктивне відображення. Нехай також $\{U_{\alpha }\}$ — покриття бази $B$ відкритими множинами, і $\phi _{\alpha }:\pi ^{-1}(U_{\alpha })\to U_{\alpha }\times F$ — відповідні їм відображення тривіалізації. Якщо множина $U_{\alpha }\cap U_{\beta }$ є непустою і $x\in U_{\alpha }\cap U_{\beta }$, то відображення $\varphi _{\alpha \beta }$ визначене з рівності $(x,\phi _{\alpha \beta }f)=\phi _{\beta }\circ \phi _{\alpha }^{-1}(x,f),\;\forall f\in F$ є автоморфізмом (гомеоморфізмом на себе) простору $F$. Таким чином визначене відображення $\{\phi _{\alpha \beta }:U_{\alpha }\cap U_{\beta }\to \mathrm {Aut} \,F\}.$

Нехай тепер $G$ — топологічна група, для якої визначена неперервна дія на просторі $F$. Якщо всі визначені вище автоморфізми $\phi _{\alpha \beta }(x)$ визначаються дією якогось елемента групи $G$ і відображення $\{\phi _{\alpha \beta }:U_{\alpha }\cap U_{\beta }\to G\}$ є неперервним то таке розшарування називається G-розшаруванням.

G-розшарування називається головним розшаруванням, якщо стандартний шар $F$ є гомеоморфним самій групі $G$. Дія групи $G$ на всіх шарах визначається дією на локальній тривіалізації, де вона визначається звичайним множенням елементів групи. На загальному просторі теж природно визначається множення. Якщо $g\in G$ і $p\in \pi ^{-1}(U)\subset E$, де $U\subset B$ і існує тривіалізація $\phi :\pi ^{-1}(U)\to U\times F$ для якої $\phi (p)=(x,f)$ то $p\cdot g=\phi ^{-1}(x,f\cdot g)$.

У випадку гладких структур визначення залишаються такими ж тільки поняття топологічних просторів, неперервних відображень і топологічних груп замінюють диференційовними многовидами, диференційовними відображеннями й групами Лі.

В альтернативних визначеннях часто не вимагається неперервність (диференційовність) відображень $\varphi _{\alpha \beta }$. Також вимоги локальної тривіальності замінюються на деякі слабші вимоги.

Властивості

• Однією з найважливіших властивостей головних розшарувань є досить простий критерій тривіальності розшарування, тобто критерій того чи є розшарування гомеоморфним (чи дифеоморфним для категорії гладких многовидів) тривіальному розшаруванню розшарування $B\times G.$

Головне розшарування є тривіальним тоді й тільки тоді коли для нього існує глобальний переріз. Аналогічне твердження не є справедливим для довільного локально тривіального розшарування.

Більш загально для підмножини $U$ в $B$ існує локальна тривіалізація $\phi :\pi ^{-1}(U)\to U\times G$ тоді і тільки тоді коли для цієї множини існує локальний переріз. Справді при наявності такої тривіалізації можна визначити переріз $s:U\to \pi ^{-1}(U)$ як

$s(x):=\phi ^{-1}(x,e)$, де $e$ є одиничним елементом групи $G$.

Навпаки для деякого локального перерізу $s$ локальну тривіалізацію $\phi$ можна визначити як: $\phi ^{-1}(x,g)=s(x)\cdot g$ для $x\in U,\;g\in G.$

Визначені локальними перерізами локальні тривіалізації є $G$-еквіваріантними, тобто: якщо тривіалізацію

$\phi :\pi ^{-1}(U)\to U\times G$ записати як

$\phi (p)=(\pi (p),\varphi (p))$ то відображення $\varphi :P\to G$ з шару над $\pi (p)$ в групу $G$ задовольняє рівність:

$\varphi (p\cdot g)=\varphi (p)\cdot g$

Якщо тепер $(\{U_{\alpha }\},\{\phi _{\alpha }\})$ — деякий тривіалізаційний атлас і локальні перерізи на множинах $U_{i}$ визначені як і раніше $s_{\alpha }(x):=\phi _{\alpha }^{-1}(x,e)$ і перетин двох множин $U_{\alpha }\cap U_{\beta }$ є непустим, то

$s_{\beta }(x)=s_{\alpha }(x)\cdot \phi _{\alpha \beta }(x)$ де $x\in U_{\alpha }\cap U_{\beta }$, а відображення $\varphi _{\alpha \beta }$ визначене як і раніше.

• Якщо $\left(E,\pi ,B,G\right)$ є головним $G$-розшаруванням у категорії гладких многовидів, то група Лі $G$ діє вільно на $E$ і множина орбіт $P/G$ є дифеоморфною до базового простору $B$.

Навпаки можна дати характеристику гладких головних розшарувань на основі цих властивостей: нехай $E$ є гладким многовидом, $G$ є групою Лі й визначена дія групи $\mu :P\times G\to P$ яка є гладкою, вільною і для відображень визначених цією дією прообрази компактних множин є компактними. Тоді:

• $E/G$ (простір орбіт) є гладким многовидом,
• Проєкція $\pi :E\to E/G$ є субмерсією,
• $\left(E,\pi ,E/G,G\right)$ є гладким головним розшаруванням.

Приклади

• Найпростішим прикладом головного розшарування є тривіальне розшарування $B\times G.$ У такому випадку $\pi$ є проєкцією на першу компоненту, усі тривіалізаційні відображення є тотожними відображеннями, а дія групи $G$ визначається множенням на дугу компонента.

• Основним прикладом є так зване реперне розшарування або розшарування баз векторних просторів. У цьому випадку кожній точці базового простору присвоюється деяка впорядкований базис векторного простору так, що ці базиси змінюються неперервно зі зміною базисної точки. Структурною групою в цьому випадку є загальна лінійна група.

Для категорії гладких многовидів найважливіший приклад такої побудови пов'язаний з дотичним розшаруванням. Нехай M — диференційовний многовид, $U\subset M$ — координатна множина і $x_{1},\ldots ,x_{n}$⁣ — відповідні координатні функції. Тоді векторні поля ${\partial \over \partial x_{1}},\ldots ,{\partial \over \partial x_{n}}$є базисом дотичного розшарування $TU$.

Усі інші базиси на цьому дотичному розшаруванні отримуються як $e_{i}=g(p)\left({\partial \over \partial x_{i}}\right)_{p}$ де $p\in M,\;1\leqslant i\leqslant n$, а $g:U\to GL(A)$ є диференційовним відображенням і дотичні простори в усіх точках множини $U\subset M$ ідентифікуються через базиси з координатних дотичних векторів. Тоді як тривіальні відображення можна взяти відображення $\phi (p;e_{1},\ldots ,e_{n})=(p,g(p)).$

Якщо $V\subset M$ — інша координатна множина і $y_{1},\ldots ,y_{n}$ — відповідні координатні функції то перехід між векторними полями ${\partial \over \partial x_{1}},\ldots ,{\partial \over \partial x_{n}}$ і ${\partial \over \partial y_{1}},\ldots ,{\partial \over \partial y_{n}}$ відбувається за допомогою матриця Якобі координатних функцій. Ці матриці гладко залежать від елементів множини $U\cap V.$

Множини довільного координатного атласу в цьому випадку будуть множинами тривіалізаційного атласу з визначеними вище відображеннями тривіалізації. Перехідні відображення на загальній лінійній групі тоді будуть рівні множенню справа на відповідні матриці Якобі

• Нехай $\left(E,\pi ,B,F\right)$ — довільне локально тривіальне $G$-розшарування з тривілізаційним атласом $(\{U_{\alpha }\},\{\phi _{\alpha }\})$ і відповідними неперервними відображеннями переходу $\{\phi _{\alpha \beta }:U_{\alpha }\cap U_{\beta }\to G\}$. Тоді з цим розшаруванням природно пов'язане головне розшарування $\left(E_{G},\pi ,B,G\right)$ з тим самим базовим простором $B$ локальним покриттям $\{U_{\alpha }\}$ і відображеннями $\{\phi _{\alpha \beta }:U_{\alpha }\cap U_{\beta }\to G\}$⁣, але стандартний шар у ньому замість $F$ рівний $G$ і локально розшарування має вигляд $U\times G$ замість $U\times F.$ Замість дії групи $G$ на просторі $F$ розглядається дія групи $G$ через звичайне множення в групі. Визначене так розшарування називається асоційованим головним розшаруванням.

Оскільки головні розшарування є загалом простішими, ніж довільні локально тривіальні розшарування то для вивчення властивостей останніх часто буває корисним вивчення асоційованих головних розшарувань.

Див. також

• Векторне розшарування
• Зв'язність на головних розшаруваннях
• Локально тривіальне розшарування

Література

• Bishop, Richard L.; Crittenden, Richard J. (1964). Geometry of manifolds. New York: Academic Press. ISBN 978-0-8218-2923-3.
• Michor, Peter W. (2008), Topics in Differential Geometry, Graduate Studies in Mathematics, т. Vol. 93, Providence: American Mathematical Society
• Steenrod, N. (1951). The Topology of Fibre Bundles. Princeton: Princeton University Press. ISBN 0-691-00548-6.