Диференціал Абеля

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Абеля диференціалголоморфний, або мероморфний диференціал на компактній, або замкнутій поверхні Рімана S.

Нехай g - рід поверхні S; a1b1a2b2..agbg — цикли канонічної бази S. В залежності від характеру особливостей розрізняють диференціали Абеля трьох типів: I, II, III причому мають місце строгі включення: I\,\subset\,II\,\subset\,III. Диференціал Абеля І-го роду — це голоморфні всюди на S диференціали 1-го порядку, котрі в околі U кожної точки P_0\,\in\,\!S мають вигляд \omega\,=\,pdz\,=\,p(z)dz, де z=x+iy — локальна уніформізуюча змінна в U, dz\,=\,dx+idy, а p(z) — голоморфна, або регулярна аналітична функція на U. Додавання і множення диференціалів Абеля визначаються звичайними правилами(див. диференціал).

Диференціали Абеля І роду формують векторний простір \mathfrak{U} розмірності g. Після введення скалярного добутку

(\omega,\pi)\,=\,\iint_{D}\omega*\overline{\pi},

де \omega*\overline{\pi}зовнішній добуток \omega на зірково спряжений диференціал \overline{\pi}, \mathfrak{U} перетворюється в Гільбертів простір.

Нехай A_1,\,B_1,\,A_2,\,B_2,\,\ldots A_g,\,B_g — А- і В- періоди другого роду диференціала Абеля. І роду \omega, тобто інтеграли

A_j\,=\,\int_{a_j} \omega, B_j\,=\,\int_{b_j} \omega, j=1,\,2,\,\ldots,\,g. (1)

Тоді справедливе наступне співвідношення:

{\|\omega\|}^2\,=\,i\sum_{j=1}^g\left (\,A_j{\overline{B}}_j\,-\,B_j{\overline{A}}_j \right )\,\ge\,0

Нехай A_1^{\prime},\,B_1^{\prime},\,A_2^{\prime},\,B_2^{\prime},\,\ldots A_g^{\prime},\,B_g^{\prime} — періоди другого роду диференціала Абеля І-го роду \pi, то

i(\omega,\,\overline{\pi})\,=\,\sum_{j=1}^g \left (\,A_j B_j^{\prime}\,-\,B_j A_j^{\prime} \right )\,=\,0. (2)

Співвідношення (1) і (2) називають білінійними відношеннями Рімана для диференціала Абеля І роду. Канонічна база диференціала Абеля І роду, тобто канонічна база \varphi_1,\,\varphi_2,\,\ldots,\,\varphi_g простору \mathfrak{U}, вибирається таким чином, щоб

A_{ij}\,=\,\int_{a_i}\varphi_i\,=\,\delta_{ij},

де \delta_{ij}символ Кронекера. При цьому матриця (B_{ij}), i,j=\overline{1,g}, B-періодів

B_{ij}\,=\,\int_{b_j}\varphi_{ij}

симетрична, а матриця уявних частин (Im \; B_{ij}) додатно визначена. Диференціал Абеля І роду, у якого всі А- або В- періоди тотожно рівні нулю рівний нулю. Якщо всі періоди диференціала Абеля І роду \omega дійсні, то \omega=0.

Диференціали Абеля ІІ і ІІІ роду відносяться до мероморфних диференціалів, тобто до таких аналітичних диференціалів, котрі мають на S не більш ніж скінченну множину особливостей типу полюсів з локальним представленням

\left ( \frac{a_{-n}}{z^n}\,+\,\frac{a_{-n+1}}{z^{n-1}}\,+\,\ldots\,+\,\frac{a_{-1}}{z}\,+\,f(\,z\,) \right )dz, (3)

де f(z) — регулярна функція, n — порядок полюсу(якщо a_{-n}\,\ne\,0), a-n - лишок в даному полюсі. При n=1 полюс називається простим. Диференціал Абеля ІІ роду — це мероморфні диференціали, в яких всі лишки дорівнюють нулю. Тобто їхнє локальне представлення має такий вигляд:

\left ( \frac{a_{-n}}{z^n}\,+\,\frac{a_{-n+1}}{z^{n-1}}\,+\,\ldots\,+\,\frac{a_{-2}}{z^2}\,+\,f(\,z\,) \right )dz.

Диференціал Абеля ІІІ роду — це диференціал Абеля довільного вигляду.

Якщо \omega — довільний диференціал Абеля з А-періодами A_1,\,A_2,\,\ldots,\,A_g, то диференціал Абеля \omega^{\prime}\,=\,\omega-A_1 \varphi_1\,-\,A_2 \varphi_2\,-\,\ldots\,-\,A_g \varphi_g має нульові А-періоди і називається нормованим. Якщо P1 i P2 - довільні точки S, то можна побудувати диференціал Абеля \omega_{1,2} з особливостями \left ( \frac{1}{z} \right ) dz в P1 і \left ( -\frac{1}{z} \right ) dz в P2, який називається нормальним диференціалом Абеля ІІІ роду. Нехай \omega — довільний диференціал Абеля з лишками c_1,\,c_2,\,\ldots,\,c_n в точках P_1,\,P_2,\,\ldots,\,P_n відповідно, причому c_1+c_2+\ldots+c_n=0. Якщо P_0\ne P_j\;j=\overline{1,n} така довільна точка на S то \omega можна представити у вигляді лінійної комбінації нормованого диференціала Абеля ІІ роду \omega_2, скінченного числа нормальних диференціалів Абеля \omega_{j,0} і базисних диференціалів Абеля І роду \omega_k:

\omega=\omega_2+\sum_{j=1}^{n}c_j \omega_{j,0}+\sum_{k=1}^{g}A_k \varphi_k.

Нехай \omega_{3} — диференціал Абеля ІІІ роду, що має лише прості полюси, з лишками c_{j} в точках P_{j},\,j=1,2,...,n, а \omega_{1} — довільний диференціал Абеля І роду;


A_{k}=\int_{a_{k}} \omega_{1},\,\,B_{k}=\int_{b_{k}} \omega_{1},


A_{k}^{\prime}=\int_{a_{k}} \omega_{3},\,\,B_{k}^{\prime}=\int_{b_{k}} \omega_{3},\,k=1,2,...,g,

причому цикли a_{k},\,b_{k} не проходять через полюси \omega_{3}. Нехай точка P_0\,\in\,\!S не лежить на циклах a_{k} і b_{k}, а L_{j} - шлях від P_{0} до P_{j}. Тоді маємо білінійні співвідношення для диференціал Абеля І і ІІІ роду:


\sum_{k=1}^{g} \left ( A_{k} B_{k}^{\prime} - A_{k}^{\prime} B_{k} \right ) = 2 \pi i \sum_{j=1}^{n} c_{j} \int_{L_{j}} \omega_{1}
.

Аналогічні співвідношення існують і між диференціалами Абеля І і ІІ роду.

Довільний диференціал Абеля ІІІ роду, окрім А- і В- періодів (циклічних), має ще полярні періоди виду 2 \pi i c_{j} вздовж циклів, гомологічних нулю, але таких, що охоплюють полюси P_{j}. Таким чином для довільного циклу \gamma маємо:


\int_{\gamma} \omega_{3} = \sum_{k=1}^{g} \left ( l_{k} A_{k}+l_{g+k} B_{k} \right ) + 2 \pi i \sum_{j=1}^{n} m_{j} c_{j},

де l_{k},\,l_{g+k},\,m_{k}цілі числа.

Джерела[ред.ред. код]

  • Математическая энциклопедия. В пяти томах. Том 1./ Под ред. И. М. Виноградова. М.: Советская энциклопедия, 1985
  • Спрингер Дж., Введение в теорию римановых поверхностей, пер. с англ., М., 1960;
  • Неванлинра Р., Униформизация, пер. с нем., М., 1955;
  • Чеботарев Н. Г., Теория алгебраических функций, М.— Л., 1948.