Еквівалентність рядків

У лінійній алгебрі дві матриці є еквівалентними за рядками, якщо одна з них може бути замінена на іншу послідовністю елементарних операцій над рядками. Навпаки, дві $m$×$n$ матриці є еквівалентними за рядками тоді й лише тоді, коли вони мають однаковий простір рядків. Концепція найчастіше застосовується щодо матриць, які представляють системи лінійних рівнянь, і в цьому випадку дві матриці однакового розміру є еквівалентними за рядками тоді й лише тоді, коли відповідні однорідні системи мають однаковий набір розв'язків, або еквівалентно матриці мають однаковий нульовий простір.

Оскільки елементарні операції над рядками є оборотними, еквівалентність рядків є відношенням еквівалентності. Його зазвичай позначають тильдою (~).

Існує аналогічне поняття еквівалентності стовпців, яке визначається елементарними операціями над стовпцями; дві матриці є еквівалентними за стовпцями тоді й лише тоді, коли відповідні транспоновані матриці є еквівалентними за рядками. Дві прямокутні матриці, які можуть бути перетворені одну на іншу, дозволяючи як елементарні операції над рядками, так і над стовпцями, називаються просто еквівалентними.

Елементарні операції з рядками

Елементарне перетворення рядка — це будь-яка із наступних дій:

1. Зміна місцями: поміняти місцями два рядки матриці.
2. Масштаб: помножити рядок матриці на ненульову константу.
3. Порядкове додавання: додати домножений на число один рядок матриці до іншого рядка.

Дві матриці $A$ і $B$ є еквівалентами за рядками, якщо можна перетворити матрицю $A$ на матрицю $B$ за допомогою послідовності елементарних операцій над рядками.

Простір рядків

Простір рядків матриці — це множина всіх можливих лінійних комбінацій її вектор-рядків. Якщо рядки матриці являють собою систему лінійних рівнянь, тоді простір рядків складається з усіх лінійних рівнянь, які можна алгебраїчно вивести з рівнянь системи. Дві $m$×$n$ матриці є еквівалентними рядками тоді й лише тоді, коли вони мають однаковий простір рядків.

Наприклад, матриці

${\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&1\end{pmatrix}}\quad {\text{та}}\quad {\begin{pmatrix}1&0&0\\1&1&1\end{pmatrix}}$

є еквівалентними за рядками, простір рядків — це всі вектори вигляду ${\begin{pmatrix}a&b&b\end{pmatrix}}$. Відповідні системи однорідних рівнянь містять ту ж саму інформацію:

${\begin{matrix}x=0,\\y+z=0\end{matrix}}\quad {\text{та}}\quad {\begin{matrix}x=0,\\x+y+z=0.\end{matrix}}$

Зокрема, з обох цих систем випливає рівняння вигляду $ax+by+bz=0$.

Еквівалентність визначень

Факт того, що дві матриці є еквівалентними за рядками тоді й лише тоді, коли вони мають однаковий простір рядків, є важливою теоремою лінійної алгебри. Доказ базується на таких спостереженнях:

1. Елементарні операції над рядками не впливають на простір рядків матриці. Зокрема, будь-які дві еквівалентні за рядками матриці мають однаковий простір рядків.
2. Будь-яку матрицю можна звести елементарними операціями над рядками до матриці у скороченій формі рядків.
3. Дві матриці у скороченій формі рядків мають однаковий простір рядків тоді й лише тоді, коли вони рівні.

Цей алгоритм міркувань також доводить, що кожна матриця та унікальна матриця, зі скороченою формою ешелону рядка, є еквівалентними за рядками.

Додаткові властивості

• Оскільки нульовий простір матриці є ортогональним доповненням простору рядків, дві матриці є еквівалентними за рядками тоді й лише тоді, коли вони мають однаковий нульовий простір.
• Ранг матриці дорівнює розмірності простору рядків, тому еквівалентні за рядками матриці повинні мати однаковий ранг. Він дорівнює кількості опорних елементів у формі ешелону скороченого ряду.
• Матриця є невиродженою тоді й лише тоді, коли вона є еквівалентною за рядками з одиничною матрицею.
• Матриці $A$ і $B$ є еквівалентними за рядками тоді й лише тоді, коли існує невироджена матриця $P$ така, що $A=PB$.

Див. також

• Елементарні операції з рядками
• Простір рядка
• Базис (лінійна алгебра)
• Скорочення рядків
• (Зменшена) рядова ешелонна форма

Література

• Axler, Sheldon Jay (1997), Linear Algebra Done Right (вид. 2nd), Springer-Verlag, ISBN 0-387-98259-0
• Lay, David C. (22 серпня 2005), Linear Algebra and Its Applications (вид. 3rd), Addison Wesley, ISBN 978-0-321-28713-7
• Meyer, Carl D. (15 лютого 2001), Matrix Analysis and Applied Linear Algebra, Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), ISBN 978-0-89871-454-8, архів оригіналу за 1 березня 2001
• Poole, David (2006), Linear Algebra: A Modern Introduction (вид. 2nd), Brooks/Cole, ISBN 0-534-99845-3
• Anton, Howard (2005), Elementary Linear Algebra (Applications Version) (вид. 9th), Wiley International
• Leon, Steven J. (2006), Linear Algebra With Applications (вид. 7th), Pearson Prentice Hall
• Roman, Steven (2008). Advanced Linear Algebra. Graduate Texts in Mathematics. Т. 135 (вид. 3rd). Springer Science+Business Media, LLC. ISBN 978-0-387-72828-5.