Кільце Зариського

У комутативній алгебрі кільцем Зариського називається топологічне кільце для якого базою околів нуля є степені деякого ідеалу, що задовольняє певні умови. Поняття такого кільця вперше ввів Оскар Зариський, назву кільця Зариського вперше ввів П'єр Самуель.

Означення

Кільце Нетер R називається кільцем Зариського щодо ідеалу R в R, якщо R є топологічним кільцем для якого степені ідеалу Iⁿ утворюють базу околів нуля і I є підмножиною радикалу Джекобсона кільця R.

Якщо R є кільцем Зариського щодо ідеалу I то воно є кільцем Зариського щодо будь-якого ідеалу, який має той же радикал, що і I.

Топологія кільця Зариського завжди є гаусдорфовою.

Приклади

• Нетерове локальне кільце щодо свого максимального ідеалу.
• Нетерове кільце R, що має лише скінченну кількість максимальних ідеалів ${\mathfrak {m}}$, щодо їх перетину. Таке кільце називається напівлокальним.
• Нетерове кільце R, що є повним гаусдорфовим простором у своїй I-топології. Дійсно, будь-який елемент $1-m\ (m\in I)$ множини $1+I$ є оборотним, оскільки елемент $1+m+m^{2}+\ldots +m^{n}+\ldots$ є для нього оберненим. Зокрема, якщо R — кільце нетер і I — ідеал в R, такий, що R є гаусдорфовим простором у своїй I-топології, то його поповнення ${\hat {R}}$ є кільцем Зариського, оскільки воно теж є нетеровим.
• Фактор-кільце R/J кільця Зариського є кільцем Зариського щодо ідеалу (I + J)/J.

Властивості

Нехай R — топологічне нетерове кільце, топологія якого породжена ідеалом I. Тоді еквівалентними є такі твердження, які можна використати в означенні кільця Зариського:

• Ідеал I міститься в радикалі Джекобсона (перетині всіх максимальних ідеалів) кільця R.
• Для будь-якого скінченнопородженого R-модуля E і його підмодуля F, підмодуль F є замкнутим щодо I-топології в E, тобто $F=\bigcap _{n=1}^{\infty }(F+I^{n}E).$
• Кільце R є гаусдорфовим простором в своїй топології, і для кожного скінченнопородженого R-модуля E і його підмодуля F виконується рівність $F={\hat {A}}F\cap E.$
• Кожен скінченнопороджений R-модуль E (зокрема, саме кільце R) є гаусдорфовим простором у своїй топології.
• Кожен ідеал в R є замкнутою множиною у топології кільця R.
• Кожен елемент із множини 1 + I є оборотним в R.
• Для будь-якого скінченнопородженого R-модуля E із рівності IE = E випливає E = 0.

Окрім того для кілець Зариського виконуються такі властивості

• Нехай R — кільце Зариського щодо ідеалу I. Для того щоб кільце R було напівлокальним необхідно і достатньо, щоб фактор-кільце R/I було кільцем Артіна. Для того щоб кільце R було локальним необхідно і достатньо щоб додатково у кільці R/I був єдиний простий ідеал.
• Нехай R — кільце Зариського щодо ідеалу I. Якщо f — лінійне відображення деякого R-модуля E в R-модуль F, то f є рівномірно неперервним щодо I-топологій, тому що $f(I^{n}E)\subset I^{n}F.$ Тому, f можна єдиним способом продовжити до неперервного відображення ${\hat {f}}$ між поповненнями ${\hat {E}}$ і ${\hat {F}}$. Відображення ${\hat {f}}$ є ${\hat {R}}$-лінійним.
• Нехай R — кільце Зариського і $E\;{\xrightarrow {\ f\ }}\;F\;{\xrightarrow {\ g\ }}\;G$ — точна послідовність скінченнопороджених R-модулів і R-лінійних відображень. Тоді послідовність ${\hat {E}}\;{\xrightarrow {\ {\hat {f}}\ }}\;F\;{\xrightarrow {\ {\hat {g}}\ }}\;G$ є точною.

Див. також

• Поповнення (комутативна алгебра)

Література

• Атья М., Макдональд И. Введение в коммутативную алгебру. — Москва : Мир, 1972. — 160 с.(рос.)
• Бурбаки Н. Коммутативная алгебра. — Москва : Мир, 1971. — С. 707. — (Елементи математики)(рос.)
• Зарисский О., Самюэль П. Коммутативная алгебра. — Москва : ИЛ, 1963. — Т. 2. — 438 с.(рос.)
• Samuel, Pierre (1953), Algèbre locale (PDF), Mémor. Sci. Math., т. 123, Paris: Gauthier-Villars, MR 0054995, архів оригіналу (PDF) за 25 січня 2020, процитовано 8 квітня 2019
• Zariski, Oscar (1946), Generalized semi-local rings, Summa Brasil. Math., 1 (8): 169—195, MR 0022835