Поповнення (комутативна алгебра)

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Поповнення кільця або модуля є методом у комутативній алгебрі, в якому кільце або модуль поповнюється щодо заданої метрики, яка є індукованою ідеалом. Термін геометрично пов'язаний з локалізацією кільця: обидва кільця досліджують околи точки в спектрі кільця, але поповнення ще більше відображає локальні властивості.

Означення[ред. | ред. код]

Поповнення кільця щодо ідеалу[ред. | ред. код]

Всюди у цій статті кільця вважаються комутативними з одиницею.

Нехай кільце і ідеал. Позначимо

Послідовність називається нульовою, якщо для всіх існує число , таке що

Позначимо ідеал всіх нульових послідовностей.

Послідовність називається фундаментальною або послідовністю Коші, коли для всіх існує число , таке що:

Позначимо кільце всіх фундаментальних послідовностей.

Факторкільце називається поповненням по .

Якщо то послідовність є очевидно фундаментальною і тому існує гомоморфізм

Даний гомоморфізм є ін'єктивним, якщо:

Зокрема ця рівність виконується для важливого випадку локальних нетерових кілець (для яких це твердження є наслідком леми Артіна — Ріса).

Кільце називається повним (по відношенню до ), якщо є ізоморфізмом.

Поповнення модулів[ред. | ред. код]

Фільтрацією модуля над кільцем називається послідовність така, що:

Найважливішим частковим випадком є послідовність для деякого ідеала . Ця фільтрація називається -адичною.

Ввівши модуль послідовностей і використовуючи замість можна аналогічно до попереднього ввести поняття фундаментальних і нульових послідовностей і поповнення модуля

щодо фільтрації чи, в окремому випадку щодо ідеала .

Модуль називається повним (щодо фільтрації), коли природне відображення:

є ізоморфізмом.

Альтернативні означення[ред. | ред. код]

Як поповнення метричного простору[ред. | ред. код]

Поповнення кільця по ідеалу можна розглядати як окремий випадок поповнення метричних просторів, якщо відповідну метрику задати на кільці. Нехай кільце і ідеал. Тоді на можна задати псевдометрику:

Якщо до того ж виконується:

то функція є метрикою, тобто додатково

До метричного простору можна застосувати стандартну процедуру поповнення метричних просторів. Внаслідок цього отримаємо кільце, що є повним метричним простором і є ізоморфним поповнення кільця згідно попереднього означення.

За допомогою проективних границь[ред. | ред. код]

Оберненою системою кілець (або модулів)називається ряд кілець (або модулів) і гомоморфізмів між ними де гомоморфізми визначені як

Проективною границею цієї системи називається кільце:

Якщо тепер ідеал і позначивши

- природній гомоморфізм кільця у його факторкільце ,

отримаємо кільце ізоморфне поповненню кільця:

Властивості[ред. | ред. код]

  • Нехай і — кільця і і — ідеали. Якщо гомоморфізм кілець для якого , то можна визначити гомоморфізм
  • Нехай — локальне кільце Нетер з максимальним ідеалом і його поповнення. Тоді:
( позначає розмірність Круля кільця)
є регулярним, якщо і тільки якщо таким є .
  • Теорема Коена про структуру: якщо регулярне локальне кільце, яке є повним щодо його максимального ідеала і містить в собі поле, то:
де є полем лишків кільця .
  • Поповнення кільця Нетер є плоским модулем над .
  • Якщо — кільце і скінченнопороджений модуль над кільцем то відображення є сюр'єктивним. Якщо додатково є нетеровим кільцем, то це відображення є ізоморфізмом. В даному випадку поповнення модуля здійснюється по фільтрації . Зокрема для деякого ідеала у нетеровому кільці звідси випливає
  • Нехай є -модулем і — задана на ньому фільтрація. Якщо для довільного розглядати модуль з індукованою фільтрацією, то є підмодулем і також
  • Для поповнення ідеала у нетеровому кільці (щодо -адичної фільтрації) справедливими є твердження: Також є підмножиною радикала Джекобсона кільця
  • Нехай є -модулем і — задана на ньому фільтрація. Тоді (де означені як і вище) є фільтрацією модуля і для цієї фільтрації
  • Нехай
коротка точна послідовність -модулів і — фільтрація модуля . Нехай і — індуковані фільтрації на модулях і Тоді поповнення модулів щодо цих фільтрацій утворюють точну послідовність
Зокрема це справедливо, якщо на всіх модулях фільтрація є породжена деяким ідеалом кільця:

Приклади[ред. | ред. код]

Формальний степеневий ряд[ред. | ред. код]

Якщо є кільцем многочленів над полем і ідеал породжений елементами

Поповнення кільця по ідеалу є ізоморфним кільцю формальних степеневих рядів

Р-адичні числа[ред. | ред. код]

р-адичні числа є поповненням поля щодо -адичної метрики (де — деяке просте число) яка задається так: для раціональних чисел і маємо

де і і не ділить жодне з чисел Тоді

Послідовність цілих чисел є фундаментальною щодо -адичної метрики, якщо вона є фундаментальною щодо ідеалу . Таким чином, ми отримуємо вкладення:

.

Тут, ліва сторона позначає поповнення по . Це вкладення задає ізоморфізм з кільцем -адичних цілих чисел, яке і є поповненням цілих чисел щодо ідеалу .

Геометричний Приклад[ред. | ред. код]

Графік кривої в дійсній афінній площині

Нехай плоска алгебрична крива в двовимірному афінному просторі, що задається рівнянням

У нульовій точці, крива перетинає сама себе і в околі нуля є схожою з кривою . Ця локальна схожість виявляється ізоморфізмом де

і

Самі локальні кільця двох кривих в точці не є ізоморфними на відміну від їх поповнень.

Кільце з лівої сторони «рівняння ізоморфізму» є прикладом того, що поповнення області цілісності, може саме не бути областю цілісності.

Інтерпретація в алгебричній геометрії[ред. | ред. код]

У алгебричній геометрії особливе значення мають поповнення локальних кілець в точках алгебричних многовидів. Вони є важливими для вивчення локальної поведінки многовидів і дають часто значно більше інформації, ніж самі локальні кільця. Зокрема якщо дві точки і на незвідних алгебричних многовидах мають ізоморфні локальні кільця, то многовиди і є біраціональними. Локальне кільце несе майже всю інформацію про многовид, тоді як поповнення локального кільця має властивості, які інтуїтивно більш характерні саме для локальної інформації.

З теореми Коена випливає, що регулярні точки на алгебричних многовидах мають ізоморфні поповнення відповідних локальних кілець, тоді і тільки тоді коли відповідні многовиди мають однакову розмірність.

Див. також[ред. | ред. код]

Література[ред. | ред. код]

  • Bruske, Ischebeck, Vogel: Kommutative Algebra, Bibliographisches Institut (1989), ISBN 978-3411140411
  • Ernst Kunz, "Introduction to Commutative algebra and algebraic geometry", Birkhauser 1985, ISBN 0-8176-3065-1
  • Atiyah, Macdonald: Introduction to Commutative Algebra, Addison-Wesley (1969), ISBN 0-2010-0361-9
  • Robin Hartshorne: Algebraic Geometry, Springer-Verlag, New York/Berlin/Heidelberg 1977, ISBN 3-540-90244-9