Перетворення Лапласа

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Перетворення Лапла́саінтегральне перетворення, що зв'язує функцію комплексної змінної (зображення) з функцією дійсної змінної (оригінал). З його допомогою досліджуються властивості динамічних систем і розв'язуються диференціальні і інтегральні рівняння.

Однією з особливостей перетворення Лапласа, які зумовили його широке розповсюдження в наукових і інженерних розрахунках, є те, що багатьом співвідношенням і операціям над оригіналам відповідають простіші співвідношення над їх зображеннями. Так, згортка двох функцій зводиться в просторі зображень до операції множення, а лінійні диференціальні рівняння стають алгебраїчними.

Визначення[ред.ред. код]

Пряме перетворення Лапласа[ред.ред. код]

Перетворенням Лапласа функції дійсної змінної , називається функція комплексної змінної , така що:

Права частина цього виразу називається інтегралом Лапласа.

Обернене перетворення Лапласа[ред.ред. код]

Оберненим перетворенням Лапласа функції комплексної змінної , називається функція дійсної змінної, така що:

де — деяке дійсне число. Права частина цього виразу називається інтегралом Бромвіча.

Двостороннє перетворення Лапласа[ред.ред. код]

Двостороннє перетворення Лапласа визначається наступним чином:

Дискретне перетворення Лапласа[ред.ред. код]

Розрізняють -перетворення і -перетворення.

  • -перетворення

Нехай — дискретна функція, тобто значення даної функції визначені тільки в дискретні моменти часу , де — ціле число, а — період дискретизації.
Тоді застосовуючи перетворення Лапласа одержуємо:

  • -перетворення

Якщо використати наступну заміну змінних:
,
одержимо Z-перетворення:

Властивості[ред.ред. код]

  • Абсолютна збіжність

Якщо інтеграл Лапласа є абсолютно збіжним при , тобто існує границя

,

то він є збіжним абсолютно і рівномірно для і аналітична функція при ( — дійсна частина комплексної змінної ). Точна нижня грань множини чисел , при яких ця умова виконується, називається абсцисою абсолютної збіжності перетворення Лапласа для функції .

  • Достатні умови існування прямого перетворення Лапласа

Перетворення Лапласа існує в сенсі абсолютної збіжності в наступних випадках:

  1. Випадок : перетворення Лапласа існує, якщо існує інтеграл
  2. Випадок : перетворення Лапласа існує, якщо інтеграл існує для кожного скінченного и для
  3. Випадок або (яка із границь більша): перетворення Лапласа існує,якщо існує перетворення Лапласа для функції (похідна до ) для .
  • Достатані умови існування оберненого перетворення Лапласа

1. Якщо аналітична функція для і має порядок менше −1, то обернене перетворення для неї існує і є неперервним для всіх значень аргумента, причому для

2. Нехай , так щоб аналітична відносно кожного і рівна нулю для , і , тоді обернене перетворення існує і відповідне пряме перетворення має абсцису абсолютної збіжності.

  • Теорема про згортку

Перетворенням Лапласа згортки двох оригіналів є добуток зображень цих оригіналів.

  • Множення зображень

Ліва частина цього виразу називається інтегралом Дюамеля.

  • Диференціювання і інтегрування оригіналу

Для перетворення Лапласа від похідної функції виконується рівність:

Для похідної -го порядку:

Перетворення Лапласа від інтеграла функції дорівнює:

  • Дифренціювання та інтегрування зображення

Обернене перетворення Лапласа від похідної функції дорівнює:

Обернене перетворення Лапласа від похідної функції дорівнює:

  • Запізнення оригіналів і зображень. Граничні теореми

Запізнення зображень:

Запізнення оригіналів:

де Функція Хевісайда.

  • Інші властивості

Лінійність

Множення на число

Пряме і обернене перетворення Лапласа деяких функцій[ред.ред. код]

Функція Часова область
Частотна область
Область збіжності
1 ідеальне запізнення
1a одиничний імпульс
2 запізнення n-го порядку з частотним зсувом
2a степенева n-го порядку
2a.1 степенева q-го порядку
2a.2 одинична функція
2b одинична функція з запізненням
2c «сходинка швидкості»
2d n-го порядку з частотним зсувом
2d.1 експоненційне затухання
3 експоненційне наближення
4 синус
5 косинус
6 гіперболічний синус
7 гіперболічний косинус
8 експоненційно затухаючий
синус
9 експоненційно затухаючий
косинус
10 корінь n-го порядку
11 натуральний логарифм
12 функція Бесселя
першого роду
порядку n

13 модифікована функція Бесселя
першого роду
порядку n
14 функція Бесселя
другого роду
нульового порядку
   
15 модифікована функція Бесселя
другого роду,
нульового порядку
   
16 функція помилок
Примітки до таблиці:

Застосування перетворення Лапласа[ред.ред. код]

Перетворення Лапласа широко використовується в математиці, фізиці і техніці.

Література[ред.ред. код]

  • Ван-дер Поль Б., Бремер Х. Операционное исчисление на основе двустороннего преобразования Лапласа.-М., ИЛ, 1952
  • Диткин В. А., Прудников А. П. Интегральные преобразования и операционное исчисление.- М, Физматгиз, 1961
  • Диткин В. А., Прудников А. П. Интегральные преобразования и операционное исчисление.- М, Физматгиз, 1974.-542 с.
  • Карслоу Х., Егер Д. Операционные методы в прикладной математике.-М., ИЛ, 1948
  • Кожевников Н. И., Краснощекова Т. И., Шишкин Н. Е. Ряды и интегралы Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. Преобразования Лапласа.-М., Наука, 1964
  • Краснов М. Л., Макаренко Г. И. Операционное исчисление. Устойчивость движения.-М., Наука, 1964.-103 с.
  • Микусинский Я. Операторное исчисление.-М., ИЛ, 1956
  • Романовский П. И. Ряды Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. Преобразования Лапласа.-М., Наука, 1980.-336 с.

Інтернет-ресурси[ред.ред. код]

Див. також[ред.ред. код]