Перетворення Лапласа

Перетворення Лапла́са — інтегральне перетворення, що пов'язує функцію $\ F(s)$ комплексної змінної (зображення) з функцією $\ f(x)$ дійсної змінної (оригінал). За його допомогою досліджують властивості динамічних систем і розв'язуються диференціальні і інтегральні рівняння.

Однією з особливостей перетворення Лапласа, які зумовили його широке поширення в наукових і інженерних розрахунках, є те, що багатьом співвідношенням і операціям над оригіналам відповідають простіші співвідношення між їхніми зображеннями. Так, згортка двох функцій зводиться в просторі зображень до операції множення, а лінійні диференціальні рівняння стають алгебраїчними.

Означення

Пряме перетворення Лапласа

Перетворенням Лапласа функції дійсної змінної $\ f(x)$, називається функція $\ F(s)$ комплексної змінної $s=\sigma +i\omega \,$, така що:

$F(s)={\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}=\int \limits _{0^{.}}^{\infty }\limits \!e^{-st}f(t)\,dt.$

Права частина цього виразу називається інтегралом Лапласа.

Обернене перетворення Лапласа

Оберненим перетворенням Лапласа функції комплексної змінної $\ F(s)$, називається функція $\ f(x)$ дійсної змінної, така що:

$f(x)={\mathcal {L}}^{-1}\{F(s)\}={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{\sigma _{1}-i\cdot \infty }^{\sigma _{1}+i\cdot \infty }\limits \!e^{sx}F(s)\,ds,$

де $\sigma _{1}\$ — деяке дійсне число. Права частина цього виразу називається інтегралом Бромвіча.

Двостороннє перетворення Лапласа

Двостороннє перетворення Лапласа визначається таким чином:

$F(s)={\mathcal {L}}\left\{f(x)\right\}=\int \limits _{-\infty }^{+\infty }\limits \!e^{-sx}f(x)\,dx.$

Дискретне перетворення Лапласа

Розрізняють $\ D$-перетворення і $\ Z$-перетворення.

• $\ D$-перетворення

Нехай $x_{d}\left({t}\right)=\sum \limits _{n=0}^{\infty }{x\left({nT}\right)\cdot \delta \left({t-nT}\right)}$ — дискретна функція, тобто значення цієї функції визначені тільки в дискретні моменти часу $\ nT$, де $\ n$ — ціле число, а $\ T$ — період дискретизації.
Тоді, застосовуючи перетворення Лапласа, одержуємо:
${\mathcal {D}}\left\{{x_{d}\left(t\right)}\right\}=\sum \limits _{n=0}^{\infty }{x\left({nT}\right)\cdot e^{-snT}}$

• $\ Z$-перетворення

Якщо використати наведену заміну змінних:
$\ z=e^{sT}$,
одержимо Z-перетворення:
${\mathcal {Z}}\left\{{x_{d}\left({t}\right)}\right\}=\sum \limits _{n=0}^{\infty }{x\left({nT}\right)\cdot z^{-n}}$

Властивості

• Абсолютна збіжність

Якщо інтеграл Лапласа є абсолютно збіжним при $\sigma =\sigma _{0}$, тобто існує границя

$\lim _{b\to \infty }\int \limits _{0}^{b}\limits \!|f(x)|e^{-\sigma _{0}x}\,dx=\int \limits _{0}^{\infty }\limits \!|f(x)|e^{-\sigma _{0}x}\,dx$,

то він є збіжним абсолютно і рівномірно для $\sigma \geqslant \sigma _{0}$ і $F(s)$ — аналітична функція при $\sigma \geqslant \sigma _{0}$ ($\sigma =\operatorname {\mathrm {Re} } \,s$ — дійсна частина комплексної змінної $s$). Точна нижня грань $\sigma _{a}$ множини чисел $\sigma$, при яких ця умова виконується, називається абсцисою абсолютної збіжності перетворення Лапласа для функції $f(x)$.

• Достатні умови існування прямого перетворення Лапласа

Перетворення Лапласа ${\mathcal {L}}\{f(x)\}$ існує в сенсі абсолютної збіжності в наступних випадках:

1. Випадок $\sigma \geqslant 0$: перетворення Лапласа існує, якщо існує інтеграл $\int \limits _{0}^{\infty }\limits \!|f(x)|\,dx$
2. Випадок $\sigma >\sigma _{a}$: перетворення Лапласа існує, якщо інтеграл $\int \limits _{0}^{x_{1}}\limits \!|f(x)|\,dx$ існує для кожного скінченного $x_{1}>0$ и $|f(x)|\leqslant Ke^{\sigma _{a}x}$ для $x>x_{2}\geqslant 0$
3. Випадок $\sigma >0$ або $\sigma >\sigma _{a}$ (яка із границь більша): перетворення Лапласа існує,якщо існує перетворення Лапласа для функції $f'(x)$ (похідна до $f(x)$) для $\sigma >\sigma _{a}$.

• Достатані умови існування оберненого перетворення Лапласа

1. Якщо $F(s)$ — аналітична функція для $\sigma \geqslant \sigma _{a}$ і має порядок менше −1, то обернене перетворення для неї існує і є неперервним для всіх значень аргумента, причому ${\mathcal {L}}^{-1}\{F(s)\}=0$ для $t\leqslant 0$

2. Нехай $F(s)=\varphi [F_{1}(s),F_{2}(s),\dots ,F_{n}(s)]$, так щоб $\varphi (z_{1},z_{2},\dots ,z_{n})$ аналітична відносно кожного $z_{k}$ і рівна нулю для $z_{1}=z_{2}=\dots =z_{n}=0$, і $F_{k}(s)={\mathcal {L}}\{f_{k}(x)\{(\sigma >\sigma _{ak}\colon k=1,2,\dots ,n)$, тоді обернене перетворення існує і відповідне пряме перетворення має абсцису абсолютної збіжності.

• Теорема про згортку

Перетворенням Лапласа згортки двох оригіналів є добуток зображень цих оригіналів.

${\mathcal {L}}\{f(x)*g(x)\}={\mathcal {L}}\{f(x)\}\cdot {\mathcal {L}}\{g(x)\}$

• Множення зображень

$f(x)g(0)+\int \limits _{0}^{x}\limits \!f(x-\tau )g'(\tau )\,d\tau ={\mathcal {L}}^{-1}\{sF(s)G(s)\}$

Ліва частина цього виразу називається інтегралом Дюамеля.

• Диференціювання і інтегрування оригіналу

Для перетворення Лапласа від похідної функції виконується рівність:

${\mathcal {L}}\{f'(x)\}=s\cdot F(s)-f(0^{+})$

Для похідної $n$-го порядку:

${\mathcal {L}}\left\{f^{(n)}(x)\right\}=s^{n}\cdot F(s)-s^{n-1}f(0^{+})-\dots -f^{(n-1)}(0^{+})$

Перетворення Лапласа від інтеграла функції дорівнює:

${\mathcal {L}}\left\{\int \limits _{0}^{x}\limits \!f(t)\,dt\right\}={\frac {F(s)}{s}}$

• Дифренціювання та інтегрування зображення

Обернене перетворення Лапласа від похідної функції дорівнює:

${\mathcal {L}}^{-1}\{F'(s)\}=-xf(x)$

Обернене перетворення Лапласа від похідної функції дорівнює:

${\mathcal {L}}^{-1}\left\{\int \limits _{s}^{+\infty }\limits \!F(s)\,ds\right\}={\frac {f(x)}{x}}$

• Запізнення оригіналів і зображень. Граничні теореми

Запізнення зображень:

${\mathcal {L}}\left\{e^{ax}f(x)\right\}=F(s-a)$

${\mathcal {L}}^{-1}\left\{F(s-a)\right\}=e^{ax}f(x)$

Запізнення оригіналів:

${\mathcal {L}}\left\{f(t-a)u(t-a)\right\}=e^{-as}F(s)$

${\mathcal {L}}^{-1}\left\{e^{-as}F(s)\right\}=f(x-a)u(x-a)$

де $u(x)$ — Функція Гевісайда.

• Інші властивості

Лінійність

${\mathcal {L}}\left\{af(x)+bg(x)\right\}=aF(s)+bG(s)$

Множення на число

${\mathcal {L}}\left\{f(ax)\right\}={\frac {1}{a}}F\left({\frac {s}{a}}\right)$

Пряме і обернене перетворення Лапласа деяких функцій

№	Функція	Часова область $x(t)={\mathcal {L}}^{-1}\left\{X(s)\right\}$	Частотна область $X(s)={\mathcal {L}}\left\{x(t)\right\}$	Область збіжності
1	ідеальне запізнення	$\delta (t-\tau )\$	$e^{-\tau s}\$
1a	одиничний імпульс	$\delta (t)\$	$1\$	$\forall \ s\,$
2	запізнення n-го порядку з частотним зсувом	${\frac {(t-\tau )^{n}}{n!}}e^{-\alpha (t-\tau )}\cdot u(t-\tau )$	${\frac {e^{-\tau s}}{(s+\alpha )^{n+1}}}$	$s>0\,$
2a	степенева n-го порядку	${t^{n} \over n!}\cdot u(t)$	${1 \over s^{n+1}}$	$s>0\,$
2a.1	степенева q-го порядку	${t^{q} \over \Gamma (q+1)}\cdot u(t)$	${1 \over s^{q+1}}$	$s>0\,$
2a.2	одинична функція	$u(t)\$	${1 \over s}$	$s>0\,$
2b	одинична функція з запізненням	$u(t-\tau )\$	${e^{-\tau s} \over s}$	$s>0\,$
2c	«сходинка швидкості»	$t\cdot u(t)\$	${\frac {1}{s^{2}}}$	$s>0\,$
2d	n-го порядку з частотним зсувом	${\frac {t^{n}}{n!}}e^{-\alpha t}\cdot u(t)$	${\frac {1}{(s+\alpha )^{n+1}}}$	$s>-\alpha \,$
2d.1	експоненційне затухання	$e^{-\alpha t}\cdot u(t)\$	${1 \over s+\alpha }$	$s>-\alpha \$
3	експоненційне наближення	$(1-e^{-\alpha t})\cdot u(t)\$	${\frac {\alpha }{s(s+\alpha )}}$	$s>0\$
4	синус	$\sin(\omega t)\cdot u(t)\$	${\omega \over s^{2}+\omega ^{2}}$	$s>0\$
5	косинус	$\cos(\omega t)\cdot u(t)\$	${s \over s^{2}+\omega ^{2}}$	$s>0\$
6	гіперболічний синус	$\sinh(\alpha t)\cdot u(t)\$	${\alpha \over s^{2}-\alpha ^{2}}$	$s>|\alpha |\$
7	гіперболічний косинус	$\cosh(\alpha t)\cdot u(t)\$	${s \over s^{2}-\alpha ^{2}}$	$s>|\alpha |\$
8	експоненційно затухаючий синус	$e^{-\alpha t}\sin(\omega t)\cdot u(t)\$	${\omega \over (s+\alpha )^{2}+\omega ^{2}}$	$s>-\alpha \$
9	експоненційно затухаючий косинус	$e^{-\alpha t}\cos(\omega t)\cdot u(t)\$	${s+\alpha \over (s+\alpha )^{2}+\omega ^{2}}$	$s>-\alpha \$
10	корінь n-го порядку	${\sqrt[{n}]{t}}\cdot u(t)$	$s^{-(n+1)/n}\cdot \Gamma \left(1+{\frac {1}{n}}\right)$	$s>0\,$
11	натуральний логарифм	$\ln \left({t \over t_{0}}\right)\cdot u(t)$	$-{t_{0} \over s}\ [\ \ln(t_{0}s)+\gamma \ ]$	$s>0\,$
12	функція Бесселя першого роду порядку n	$J_{n}(\omega t)\cdot u(t)$	${\frac {\omega ^{n}\left(s+{\sqrt {s^{2}+\omega ^{2}}}\right)^{-n}}{\sqrt {s^{2}+\omega ^{2}}}}$	$s>0\,$ $(n>-1)\,$
13	модифікована функція Бесселя першого роду порядку n	$I_{n}(\omega t)\cdot u(t)$	${\frac {\omega ^{n}\left(s+{\sqrt {s^{2}-\omega ^{2}}}\right)^{-n}}{\sqrt {s^{2}-\omega ^{2}}}}$	$s>|\omega |\,$
14	функція Бесселя другого роду нульового порядку	$Y_{0}(\alpha t)\cdot u(t)$
15	модифікована функція Бесселя другого роду, нульового порядку	$K_{0}(\alpha t)\cdot u(t)$
16	функція помилок	$\mathrm {erf} (t)\cdot u(t)$	${e^{s^{2}/4}\operatorname {erfc} \left(s/2\right) \over s}$	$s>0\,$
Примітки до таблиці: $u(t)\,$ — Функція Гевісайда. $\delta (t)\,$ — дельта-функція. $\Gamma (z)\,$ — гамма-функція. $\gamma \,$ — стала Ейлера — Маскероні. $t\,$, — дійсна змінна. $s\,$ — комплексна змінна. $\alpha \,$, $\beta \,$, $\tau \,$ и $\omega \,$ — дійсні числа. $n\,$ — ціле число.

Застосування перетворення Лапласа

Перетворення Лапласа широко використовується в математиці, фізиці і техніці.

• Розв'язок систем диференціальних і інтегральних рівнянь — за допомогою перетворення Лапласа легко переходити від складних понять математичного аналізу до простіших алгебраїчних відношень.
• Розрахунок вихідних сигналів динамічних систем в теорії управління і обробці сигналів.
• Розрахунок електричних схем за допомогою операторного методу.
• Розв'язок нестаціонарних задач математичної фізики.

Література

• Ван-дер Поль Б., Бремер Х. Операционное исчисление на основе двустороннего преобразования Лапласа.-М., ИЛ, 1952
• Диткин В. А., Прудников А. П. Интегральные преобразования и операционное исчисление.- М, Физматгиз, 1961
• Диткин В. А., Прудников А. П. Интегральные преобразования и операционное исчисление.- М, Физматгиз, 1974.-542 с.
• Карслоу Х., Егер Д. Операционные методы в прикладной математике.-М., ИЛ, 1948
• Кожевников Н. И., Краснощекова Т. И., Шишкин Н. Е. Ряды и интегралы Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. Преобразования Лапласа.-М., Наука, 1964
• Краснов М. Л., Макаренко Г. И. Операционное исчисление. Устойчивость движения.-М., Наука, 1964.-103 с.
• Микусинский Я. Операторное исчисление.-М., ИЛ, 1956
• Романовский П. И. Ряды Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. Преобразования Лапласа.-М., Наука, 1980.-336 с.

Інтернет-ресурси

• Операційне числення . Перетворення Лапласа.

Див. також

• Перетворення Фур'є
• Диференціальні рівняння
• Перетворення Бесселя
• Перетворення Мелліна
• Перетворення Карсона-Хевісайда