Перетворення Лапла́са — інтегральне перетворення , що пов'язує функцію
F
(
s
)
{\displaystyle \ F(s)}
зображення ) з функцією
f
(
x
)
{\displaystyle \ f(x)}
оригінал ). За його допомогою досліджують властивості динамічних систем і розв'язуються диференціальні і інтегральні рівняння .
Однією з особливостей перетворення Лапласа, які зумовили його широке поширення в наукових і інженерних розрахунках, є те, що багатьом співвідношенням і операціям над оригіналами відповідають простіші співвідношення між їхніми зображеннями. Так, згортка двох функцій зводиться в просторі зображень до операції множення, а лінійні диференціальні рівняння стають алгебраїчними.
Перетворенням Лапласа функції дійсної змінної
f
(
x
)
{\displaystyle \ f(x)}
F
(
s
)
{\displaystyle \ F(s)}
s
=
σ
+
i
ω
{\displaystyle s=\sigma +i\omega \,}
F
(
s
)
=
L
{
f
(
t
)
}
=
∫
0
.
∞
e
−
s
t
f
(
t
)
d
t
.
{\displaystyle F(s)={\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}=\int \limits _{0^{.}}^{\infty }\limits \!e^{-st}f(t)\,dt.}
Права частина цього виразу називається інтегралом Лапласа .
Оберненим перетворенням Лапласа функції комплексної змінної
F
(
s
)
{\displaystyle \ F(s)}
f
(
x
)
{\displaystyle \ f(x)}
f
(
x
)
=
L
−
1
{
F
(
s
)
}
=
1
2
π
i
∫
σ
1
−
i
⋅
∞
σ
1
+
i
⋅
∞
e
s
x
F
(
s
)
d
s
,
{\displaystyle f(x)={\mathcal {L}}^{-1}\{F(s)\}={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{\sigma _{1}-i\cdot \infty }^{\sigma _{1}+i\cdot \infty }\limits \!e^{sx}F(s)\,ds,}
де
σ
1
{\displaystyle \sigma _{1}\ }
Двостороннє перетворення Лапласа визначається таким чином:
F
(
s
)
=
L
{
f
(
x
)
}
=
∫
−
∞
+
∞
e
−
s
x
f
(
x
)
d
x
.
{\displaystyle F(s)={\mathcal {L}}\left\{f(x)\right\}=\int \limits _{-\infty }^{+\infty }\limits \!e^{-sx}f(x)\,dx.}
Розрізняють
D
{\displaystyle \ D}
Z
{\displaystyle \ Z}
D
{\displaystyle \ D}
Нехай
x
d
(
t
)
=
∑
n
=
0
∞
x
(
n
T
)
⋅
δ
(
t
−
n
T
)
{\displaystyle x_{d}\left({t}\right)=\sum \limits _{n=0}^{\infty }{x\left({nT}\right)\cdot \delta \left({t-nT}\right)}}
n
T
{\displaystyle \ nT}
n
{\displaystyle \ n}
T
{\displaystyle \ T}
D
{
x
d
(
t
)
}
=
∑
n
=
0
∞
x
(
n
T
)
⋅
e
−
s
n
T
{\displaystyle {\mathcal {D}}\left\{{x_{d}\left(t\right)}\right\}=\sum \limits _{n=0}^{\infty }{x\left({nT}\right)\cdot e^{-snT}}}
Z
{\displaystyle \ Z}
Якщо використати наведену заміну змінних:
z
=
e
s
T
{\displaystyle \ z=e^{sT}}
Z-перетворення :
Z
{
x
d
(
t
)
}
=
∑
n
=
0
∞
x
(
n
T
)
⋅
z
−
n
{\displaystyle {\mathcal {Z}}\left\{{x_{d}\left({t}\right)}\right\}=\sum \limits _{n=0}^{\infty }{x\left({nT}\right)\cdot z^{-n}}}
Якщо інтеграл Лапласа є абсолютно збіжним при
σ
=
σ
0
{\displaystyle \sigma =\sigma _{0}}
границя
lim
b
→
∞
∫
0
b
|
f
(
x
)
|
e
−
σ
0
x
d
x
=
∫
0
∞
|
f
(
x
)
|
e
−
σ
0
x
d
x
{\displaystyle \lim _{b\to \infty }\int \limits _{0}^{b}\limits \!|f(x)|e^{-\sigma _{0}x}\,dx=\int \limits _{0}^{\infty }\limits \!|f(x)|e^{-\sigma _{0}x}\,dx}
то він є збіжним абсолютно і рівномірно для
σ
⩾
σ
0
{\displaystyle \sigma \geqslant \sigma _{0}}
F
(
s
)
{\displaystyle F(s)}
аналітична функція при
σ
⩾
σ
0
{\displaystyle \sigma \geqslant \sigma _{0}}
σ
=
R
e
s
{\displaystyle \sigma =\operatorname {\mathrm {Re} } \,s}
комплексної змінної
s
{\displaystyle s}
σ
a
{\displaystyle \sigma _{a}}
σ
{\displaystyle \sigma }
абсцисою абсолютної збіжності
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
Достатні умови існування прямого перетворення Лапласа Перетворення Лапласа
L
{
f
(
x
)
}
{\displaystyle {\mathcal {L}}\{f(x)\}}
Випадок
σ
⩾
0
{\displaystyle \sigma \geqslant 0}
∫
0
∞
|
f
(
x
)
|
d
x
{\displaystyle \int \limits _{0}^{\infty }\limits \!|f(x)|\,dx}
Випадок
σ
>
σ
a
{\displaystyle \sigma >\sigma _{a}}
∫
0
x
1
|
f
(
x
)
|
d
x
{\displaystyle \int \limits _{0}^{x_{1}}\limits \!|f(x)|\,dx}
x
1
>
0
{\displaystyle x_{1}>0}
|
f
(
x
)
|
⩽
K
e
σ
a
x
{\displaystyle |f(x)|\leqslant Ke^{\sigma _{a}x}}
x
>
x
2
⩾
0
{\displaystyle x>x_{2}\geqslant 0}
Випадок
σ
>
0
{\displaystyle \sigma >0}
σ
>
σ
a
{\displaystyle \sigma >\sigma _{a}}
f
′
(
x
)
{\displaystyle f'(x)}
похідна до
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
σ
>
σ
a
{\displaystyle \sigma >\sigma _{a}}
Достатані умови існування оберненого перетворення Лапласа 1. Якщо
F
(
s
)
{\displaystyle F(s)}
аналітична функція для
σ
⩾
σ
a
{\displaystyle \sigma \geqslant \sigma _{a}}
L
−
1
{
F
(
s
)
}
=
0
{\displaystyle {\mathcal {L}}^{-1}\{F(s)\}=0}
t
⩽
0
{\displaystyle t\leqslant 0}
2. Нехай
F
(
s
)
=
φ
[
F
1
(
s
)
,
F
2
(
s
)
,
…
,
F
n
(
s
)
]
{\displaystyle F(s)=\varphi [F_{1}(s),F_{2}(s),\dots ,F_{n}(s)]}
φ
(
z
1
,
z
2
,
…
,
z
n
)
{\displaystyle \varphi (z_{1},z_{2},\dots ,z_{n})}
z
k
{\displaystyle z_{k}}
z
1
=
z
2
=
⋯
=
z
n
=
0
{\displaystyle z_{1}=z_{2}=\dots =z_{n}=0}
F
k
(
s
)
=
L
{
f
k
(
x
)
{
(
σ
>
σ
a
k
:
k
=
1
,
2
,
…
,
n
)
{\displaystyle F_{k}(s)={\mathcal {L}}\{f_{k}(x)\{(\sigma >\sigma _{ak}\colon k=1,2,\dots ,n)}
Перетворенням Лапласа згортки двох оригіналів є добуток зображень цих оригіналів.
L
{
f
(
x
)
∗
g
(
x
)
}
=
L
{
f
(
x
)
}
⋅
L
{
g
(
x
)
}
{\displaystyle {\mathcal {L}}\{f(x)*g(x)\}={\mathcal {L}}\{f(x)\}\cdot {\mathcal {L}}\{g(x)\}}
f
(
x
)
g
(
0
)
+
∫
0
x
f
(
x
−
τ
)
g
′
(
τ
)
d
τ
=
L
−
1
{
s
F
(
s
)
G
(
s
)
}
{\displaystyle f(x)g(0)+\int \limits _{0}^{x}\limits \!f(x-\tau )g'(\tau )\,d\tau ={\mathcal {L}}^{-1}\{sF(s)G(s)\}}
Ліва частина цього виразу називається інтегралом Дюамеля .
Диференціювання і інтегрування оригіналу Для перетворення Лапласа від похідної функції виконується рівність:
L
{
f
′
(
x
)
}
=
s
⋅
F
(
s
)
−
f
(
0
+
)
{\displaystyle {\mathcal {L}}\{f'(x)\}=s\cdot F(s)-f(0^{+})}
Для похідної
n
{\displaystyle n}
L
{
f
(
n
)
(
x
)
}
=
s
n
⋅
F
(
s
)
−
s
n
−
1
f
(
0
+
)
−
⋯
−
f
(
n
−
1
)
(
0
+
)
{\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{f^{(n)}(x)\right\}=s^{n}\cdot F(s)-s^{n-1}f(0^{+})-\dots -f^{(n-1)}(0^{+})}
Перетворення Лапласа від інтеграла функції дорівнює:
L
{
∫
0
x
f
(
t
)
d
t
}
=
F
(
s
)
s
{\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{\int \limits _{0}^{x}\limits \!f(t)\,dt\right\}={\frac {F(s)}{s}}}
Дифренціювання та інтегрування зображення Обернене перетворення Лапласа від похідної функції дорівнює:
L
−
1
{
F
′
(
s
)
}
=
−
x
f
(
x
)
{\displaystyle {\mathcal {L}}^{-1}\{F'(s)\}=-xf(x)}
Обернене перетворення Лапласа від інтеграла функції дорівнює:
L
−
1
{
∫
s
+
∞
F
(
s
)
d
s
}
=
f
(
x
)
x
{\displaystyle {\mathcal {L}}^{-1}\left\{\int \limits _{s}^{+\infty }\limits \!F(s)\,ds\right\}={\frac {f(x)}{x}}}
Запізнення оригіналів і зображень. Граничні теореми Запізнення зображень:
L
{
e
a
x
f
(
x
)
}
=
F
(
s
−
a
)
{\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{e^{ax}f(x)\right\}=F(s-a)}
L
−
1
{
F
(
s
−
a
)
}
=
e
a
x
f
(
x
)
{\displaystyle {\mathcal {L}}^{-1}\left\{F(s-a)\right\}=e^{ax}f(x)}
Запізнення оригіналів:
L
{
f
(
t
−
a
)
u
(
t
−
a
)
}
=
e
−
a
s
F
(
s
)
{\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{f(t-a)u(t-a)\right\}=e^{-as}F(s)}
L
−
1
{
e
−
a
s
F
(
s
)
}
=
f
(
x
−
a
)
u
(
x
−
a
)
{\displaystyle {\mathcal {L}}^{-1}\left\{e^{-as}F(s)\right\}=f(x-a)u(x-a)}
де
u
(
x
)
{\displaystyle u(x)}
Функція Гевісайда .
Лінійність
L
{
a
f
(
x
)
+
b
g
(
x
)
}
=
a
F
(
s
)
+
b
G
(
s
)
{\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{af(x)+bg(x)\right\}=aF(s)+bG(s)}
Множення на число
L
{
f
(
a
x
)
}
=
1
a
F
(
s
a
)
{\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{f(ax)\right\}={\frac {1}{a}}F\left({\frac {s}{a}}\right)}
[ ред. | ред. код ]
№
Функція
Часова область
x
(
t
)
=
L
−
1
{
X
(
s
)
}
{\displaystyle x(t)={\mathcal {L}}^{-1}\left\{X(s)\right\}}
Частотна область
X
(
s
)
=
L
{
x
(
t
)
}
{\displaystyle X(s)={\mathcal {L}}\left\{x(t)\right\}}
Область збіжності
1
ідеальне запізнення
δ
(
t
−
τ
)
{\displaystyle \delta (t-\tau )\ }
e
−
τ
s
{\displaystyle e^{-\tau s}\ }
1a
одиничний імпульс
δ
(
t
)
{\displaystyle \delta (t)\ }
1
{\displaystyle 1\ }
∀
s
{\displaystyle \forall \ s\,}
2
запізнення n -го порядку з частотним зсувом
(
t
−
τ
)
n
n
!
e
−
α
(
t
−
τ
)
⋅
u
(
t
−
τ
)
{\displaystyle {\frac {(t-\tau )^{n}}{n!}}e^{-\alpha (t-\tau )}\cdot u(t-\tau )}
e
−
τ
s
(
s
+
α
)
n
+
1
{\displaystyle {\frac {e^{-\tau s}}{(s+\alpha )^{n+1}}}}
s
>
0
{\displaystyle s>0\,}
2a
степенева n -го порядку
t
n
n
!
⋅
u
(
t
)
{\displaystyle {t^{n} \over n!}\cdot u(t)}
1
s
n
+
1
{\displaystyle {1 \over s^{n+1}}}
s
>
0
{\displaystyle s>0\,}
2a.1
степенева q -го порядку
t
q
Γ
(
q
+
1
)
⋅
u
(
t
)
{\displaystyle {t^{q} \over \Gamma (q+1)}\cdot u(t)}
1
s
q
+
1
{\displaystyle {1 \over s^{q+1}}}
s
>
0
{\displaystyle s>0\,}
2a.2
одинична функція
u
(
t
)
{\displaystyle u(t)\ }
1
s
{\displaystyle {1 \over s}}
s
>
0
{\displaystyle s>0\,}
2b
одинична функція з запізненням
u
(
t
−
τ
)
{\displaystyle u(t-\tau )\ }
e
−
τ
s
s
{\displaystyle {e^{-\tau s} \over s}}
s
>
0
{\displaystyle s>0\,}
2c
«сходинка швидкості»
t
⋅
u
(
t
)
{\displaystyle t\cdot u(t)\ }
1
s
2
{\displaystyle {\frac {1}{s^{2}}}}
s
>
0
{\displaystyle s>0\,}
2d
n -го порядку з частотним зсувом
t
n
n
!
e
−
α
t
⋅
u
(
t
)
{\displaystyle {\frac {t^{n}}{n!}}e^{-\alpha t}\cdot u(t)}
1
(
s
+
α
)
n
+
1
{\displaystyle {\frac {1}{(s+\alpha )^{n+1}}}}
s
>
−
α
{\displaystyle s>-\alpha \,}
2d.1
експоненційне затухання
e
−
α
t
⋅
u
(
t
)
{\displaystyle e^{-\alpha t}\cdot u(t)\ }
1
s
+
α
{\displaystyle {1 \over s+\alpha }}
s
>
−
α
{\displaystyle s>-\alpha \ }
3
експоненційне наближення
(
1
−
e
−
α
t
)
⋅
u
(
t
)
{\displaystyle (1-e^{-\alpha t})\cdot u(t)\ }
α
s
(
s
+
α
)
{\displaystyle {\frac {\alpha }{s(s+\alpha )}}}
s
>
0
{\displaystyle s>0\ }
4
синус
sin
(
ω
t
)
⋅
u
(
t
)
{\displaystyle \sin(\omega t)\cdot u(t)\ }
ω
s
2
+
ω
2
{\displaystyle {\omega \over s^{2}+\omega ^{2}}}
s
>
0
{\displaystyle s>0\ }
5
косинус
cos
(
ω
t
)
⋅
u
(
t
)
{\displaystyle \cos(\omega t)\cdot u(t)\ }
s
s
2
+
ω
2
{\displaystyle {s \over s^{2}+\omega ^{2}}}
s
>
0
{\displaystyle s>0\ }
6
гіперболічний синус
sinh
(
α
t
)
⋅
u
(
t
)
{\displaystyle \sinh(\alpha t)\cdot u(t)\ }
α
s
2
−
α
2
{\displaystyle {\alpha \over s^{2}-\alpha ^{2}}}
s
>
|
α
|
{\displaystyle s>|\alpha |\ }
7
гіперболічний косинус
cosh
(
α
t
)
⋅
u
(
t
)
{\displaystyle \cosh(\alpha t)\cdot u(t)\ }
s
s
2
−
α
2
{\displaystyle {s \over s^{2}-\alpha ^{2}}}
s
>
|
α
|
{\displaystyle s>|\alpha |\ }
8
експоненційно затухаючий
e
−
α
t
sin
(
ω
t
)
⋅
u
(
t
)
{\displaystyle e^{-\alpha t}\sin(\omega t)\cdot u(t)\ }
ω
(
s
+
α
)
2
+
ω
2
{\displaystyle {\omega \over (s+\alpha )^{2}+\omega ^{2}}}
s
>
−
α
{\displaystyle s>-\alpha \ }
9
експоненційно затухаючий
e
−
α
t
cos
(
ω
t
)
⋅
u
(
t
)
{\displaystyle e^{-\alpha t}\cos(\omega t)\cdot u(t)\ }
s
+
α
(
s
+
α
)
2
+
ω
2
{\displaystyle {s+\alpha \over (s+\alpha )^{2}+\omega ^{2}}}
s
>
−
α
{\displaystyle s>-\alpha \ }
10
корінь n -го порядку
t
n
⋅
u
(
t
)
{\displaystyle {\sqrt[{n}]{t}}\cdot u(t)}
s
−
(
n
+
1
)
/
n
⋅
Γ
(
1
+
1
n
)
{\displaystyle s^{-(n+1)/n}\cdot \Gamma \left(1+{\frac {1}{n}}\right)}
s
>
0
{\displaystyle s>0\,}
11
натуральний логарифм
ln
(
t
t
0
)
⋅
u
(
t
)
{\displaystyle \ln \left({t \over t_{0}}\right)\cdot u(t)}
−
t
0
s
[
ln
(
t
0
s
)
+
γ
]
{\displaystyle -{t_{0} \over s}\ [\ \ln(t_{0}s)+\gamma \ ]}
s
>
0
{\displaystyle s>0\,}
12
функція Бесселя n
J
n
(
ω
t
)
⋅
u
(
t
)
{\displaystyle J_{n}(\omega t)\cdot u(t)}
ω
n
(
s
+
s
2
+
ω
2
)
−
n
s
2
+
ω
2
{\displaystyle {\frac {\omega ^{n}\left(s+{\sqrt {s^{2}+\omega ^{2}}}\right)^{-n}}{\sqrt {s^{2}+\omega ^{2}}}}}
s
>
0
{\displaystyle s>0\,}
(
n
>
−
1
)
{\displaystyle (n>-1)\,}
13
модифікована функція Бесселя n
I
n
(
ω
t
)
⋅
u
(
t
)
{\displaystyle I_{n}(\omega t)\cdot u(t)}
ω
n
(
s
+
s
2
−
ω
2
)
−
n
s
2
−
ω
2
{\displaystyle {\frac {\omega ^{n}\left(s+{\sqrt {s^{2}-\omega ^{2}}}\right)^{-n}}{\sqrt {s^{2}-\omega ^{2}}}}}
s
>
|
ω
|
{\displaystyle s>|\omega |\,}
14
функція Бесселя
Y
0
(
α
t
)
⋅
u
(
t
)
{\displaystyle Y_{0}(\alpha t)\cdot u(t)}
15
модифікована функція Бесселя
K
0
(
α
t
)
⋅
u
(
t
)
{\displaystyle K_{0}(\alpha t)\cdot u(t)}
16
функція помилок
e
r
f
(
t
)
⋅
u
(
t
)
{\displaystyle \mathrm {erf} (t)\cdot u(t)}
e
s
2
/
4
erfc
(
s
/
2
)
s
{\displaystyle {e^{s^{2}/4}\operatorname {erfc} \left(s/2\right) \over s}}
s
>
0
{\displaystyle s>0\,}
Примітки до таблиці:
u
(
t
)
{\displaystyle u(t)\,}
Функція Гевісайда .
δ
(
t
)
{\displaystyle \delta (t)\,}
дельта-функція .
Γ
(
z
)
{\displaystyle \Gamma (z)\,}
гамма-функція .
γ
{\displaystyle \gamma \,}
стала Ейлера — Маскероні .
t
{\displaystyle t\,}
s
{\displaystyle s\,}
α
{\displaystyle \alpha \,}
β
{\displaystyle \beta \,}
τ
{\displaystyle \tau \,}
ω
{\displaystyle \omega \,}
дійсні числа .
n
{\displaystyle n\,}
ціле число .
Перетворення Лапласа широко використовується в математиці , фізиці і техніці .
Ляшко І.І. , Ємельянов В.Ф., Боярчук О.К. Математичний аналіз. Частина 2 . — К. : Вища школа , 1993. — 375 с. — ISBN 5-11-003758-2 .(укр.) Грищенко О.Ю. , Нагнибіда М.І. , Настасієв П.П. Вища школа , 1994. — 375 с.(укр.) Ван-дер Поль Б., Бремер Х. Операционное исчисление на основе двустороннего преобразования Лапласа.-М., ИЛ, 1952
Диткин В. А., Прудников А. П. Интегральные преобразования и операционное исчисление.- М, Физматгиз, 1961
Диткин В. А., Прудников А. П. Интегральные преобразования и операционное исчисление.- М, Физматгиз, 1974.-542 с.
Карслоу Х., Егер Д. Операционные методы в прикладной математике.-М., ИЛ, 1948
Кожевников Н. И., Краснощекова Т. И., Шишкин Н. Е. Ряды и интегралы Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. Преобразования Лапласа.-М., Наука, 1964
Краснов М. Л., Макаренко Г. И. Операционное исчисление. Устойчивость движения.-М., Наука, 1964.-103 с.
Микусинский Я. Операторное исчисление.-М., ИЛ, 1956
Романовский П. И. Ряды Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. Преобразования Лапласа.-М., Наука, 1980.-336 с. 
![{\displaystyle F(s)=\varphi [F_{1}(s),F_{2}(s),\dots ,F_{n}(s)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b723be22f072b5d8effb6ff90341a58b83cdb9a)
![{\displaystyle {\sqrt[{n}]{t}}\cdot u(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4345a4c33a88daeb8ec5a3002d02d62f66ff3fb)
![{\displaystyle -{t_{0} \over s}\ [\ \ln(t_{0}s)+\gamma \ ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6fce40449b6e96562216aebb919341a47876cf15)
