Перетворення Лапласа

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Перетворення Лапла́саінтегральне перетворення, що зв'язує функцію \ F(s) комплексної змінної (зображення) з функцією \ f(x) дійсної змінної (оригінал). З його допомогою досліджуються властивості динамічних систем і розв'язуються диференціальні і інтегральні рівняння.

Однією з особливостей перетворення Лапласа, які зумовили його широке розповсюдження в наукових і інженерних розрахунках, є те, що багатьом співвідношенням і операціям над оригіналам відповідають простіші співвідношення над їх зображеннями. Так, згортка двох функцій зводиться в просторі зображень до операції множення, а лінійні диференціальні рівняння стають алгебраїчними.

Визначення[ред.ред. код]

Пряме перетворення Лапласа[ред.ред. код]

Перетворенням Лапласа функції дійсної змінної \ f(x), називається функція \ F(s) комплексної змінної s = \sigma + i \omega \, , така що:

F(s)  = \mathcal{L} \left\{f(t)\right\}  =\int\limits_{0^.}^\infty\limits\! e^{-st} f(t)\,dt.

Права частина цього виразу називається інтегралом Лапласа.

Обернене перетворення Лапласа[ред.ред. код]

Оберненим перетворенням Лапласа функції комплексної змінної \ F(s), називається функція \ f(x) дійсної змінної, така що:

f(x) = \mathcal{L}^{-1} \{F(s)\}
 = \frac{1}{2 \pi i} \int\limits_{ \sigma_1 - i \cdot \infty}^{ \sigma_1 + i \cdot \infty}\limits\! e^{sx} F(s)\,ds,

де  \sigma_1 \ — деяке дійсне число. Права частина цього виразу називається інтегралом Бромвіча.

Двостороннє перетворення Лапласа[ред.ред. код]

Двостороннє перетворення Лапласа визначається наступним чином:

F(s)  = \mathcal{L}\left\{f(x)\right\}  =\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\limits\! e^{-sx} f(x)\,dx.

Дискретне перетворення Лапласа[ред.ред. код]

Розрізняють \ D-перетворення і \ Z-перетворення.

  • \ D-перетворення

Нехай x_d \left( {t} \right) = \sum\limits_{n = 0}^\infty  {x\left( {nT} \right) \cdot \delta \left( {t - nT} \right)} — дискретна функція, тобто значення даної функції визначені тільки в дискретні моменти часу \ nT, де \ n — ціле число, а \ T — період дискретизації.
Тоді застосовуючи перетворення Лапласа одержуємо:
\mathcal{D}\left\{ {x_d \left( t \right)} \right\} = \sum\limits_{n = 0}^\infty  {x\left( {nT} \right) \cdot e^{ - snT} }

  • \ Z-перетворення

Якщо використати наступну заміну змінних:
\ z = e^{ sT },
одержимо Z-перетворення:
\mathcal{Z}\left\{ {x_d \left( {t} \right)} \right\} = \sum\limits_{n = 0}^\infty  {x\left( {nT} \right) \cdot z^{ - n} }

Властивості[ред.ред. код]

  • Абсолютна збіжність

Якщо інтеграл Лапласа є абсолютно збіжним при \sigma = \sigma_0, тобто існує границя

\lim_{b \to \infty} \int\limits_{0}^{b}\limits\! |f(x)|e^{-\sigma_0 x}\,dx = \int\limits_{0}^{\infty}\limits\! |f(x)|e^{-\sigma_0 x}\,dx,

то він є збіжним абсолютно і рівномірно для \sigma \geqslant \sigma_0 і F(s)аналітична функція при \sigma \geqslant \sigma_0 (\sigma = \operatorname{\mathrm{Re}}\,s — дійсна частина комплексної змінної s). Точна нижня грань \sigma_a множини чисел \sigma, при яких ця умова виконується, називається абсцисою абсолютної збіжності перетворення Лапласа для функції f(x).

  • Достатні умови існування прямого перетворення Лапласа

Перетворення Лапласа \mathcal{L} \{f(x) \} існує в сенсі абсолютної збіжності в наступних випадках:

  1. Випадок \sigma \geqslant 0: перетворення Лапласа існує, якщо існує інтеграл \int\limits_{0}^{\infty}\limits\! |f(x)|\,dx
  2. Випадок \sigma > \sigma_a: перетворення Лапласа існує, якщо інтеграл \int\limits_{0}^{x_1}\limits\! |f(x)|\,dx існує для кожного скінченного x_1 > 0 и |f(x)| \leqslant Ke^{\sigma_ax} для  x > x_2 \geqslant 0
  3. Випадок \sigma > 0 або \sigma > \sigma_a (яка із границь більша): перетворення Лапласа існує,якщо існує перетворення Лапласа для функції  f'(x) (похідна до f(x)) для \sigma > \sigma_a.
  • Достатані умови існування оберненого перетворення Лапласа

1. Якщо F(s)аналітична функція для \sigma \geqslant \sigma_a і має порядок менше −1, то обернене перетворення для неї існує і є неперервним для всіх значень аргумента, причому \mathcal{L}^{-1} \{F(s) \} = 0 для t \leqslant 0

2. Нехай F(s) = \varphi[F_1(s), F_2(s), \dots, F_n(s)], так что \varphi(z_1, z_2, \dots, z_n) аналітична відносно кожного z_k і рівна нулю для z_1 = z_2 = \dots = z_n = 0, и F_k(s) = \mathcal{L} \{f_k(x) \{ (\sigma > \sigma_{ak}\colon k = 1, 2, \dots, n), тоді обернене перетворення існує і відповідне пряме перетворення має абсцису абсолютної збіжності.

  • Теорема про згортку

Перетворенням Лапласа згортки двох оригіналів є добуток зображень цих оригіналів.

\mathcal{L} \{ f(x)  * g(x) \} = \mathcal{L} \{ f(x) \} \cdot \mathcal{L} \{ g(x) \}
  • Множення зображень

f(x)g(0) + \int\limits_{0}^{x}\limits\! f(x-\tau)g'(\tau)\,d\tau = sF(s)G(s)

Ліва частина цього виразу називається інтегралом Дюамеля.

  • Диференціювання і інтегрування оригіналу

Для перетворення Лапласа від похідної функції виконується рівність:

\mathcal{L} \{f'(x)\} = s \cdot F(s) - f(0^+)

Для похідної n-го порядку:

\mathcal{L}\left\{ f^{(n)} (x) \right\}  = s^n \cdot F(s) - s^{n - 1} f(0^+) - \dots - f^{(n - 1)}(0^+)

Перетворення Лапласа від інтеграла функції дорівнює:

\mathcal{L} \left\{ \int\limits_{0}^{x}\limits\! f(t)\,dt \right\} =  \frac{F(s)}{s}
  • Дифренціювання та інтегрування зображення

Обернене перетворення Лапласа від від похідної функції дорівнює:

\mathcal{L}^{-1} \{F'(s)\} = -xf(x)

Обернене перетворення Лапласа від від похідної функції дорівнює:

\mathcal{L}^{-1} \left\{ \int\limits_{s}^{+\infty}\limits\! F(s)\,ds \right\} =  \frac{f(x)}{x}
  • Запізнення оригіналів і зображень. Граничні теореми

Запізнення зображень:

\mathcal{L}\left\{ e^{ax} f(x) \right\}  = F(s - a)
\mathcal{L}^{-1} \left\{ F(s - a) \right\}  = e^{ax} f(x)

Запізнення оригіналів:

\mathcal{L}\left\{ f(t - a) u(t - a) \right\}  = e^{-as} F(s)
\mathcal{L}^{-1} \left\{ e^{-as} F(s) \right\}  = f(x - a) u(x - a)

де u(x)Функція Хевісайда.

  • Інші властивості

Лінійність

\mathcal{L}\left\{a f(x) + b g(x) \right\}  = a F(s)  + b G(s)

Множення на число

 \mathcal{L} \left\{ f(ax) \right\} =\frac{1}{a} F \left (\frac{s}{a}\right )

Пряме і обернене перетворення Лапласа деяких функцій[ред.ред. код]

Функція Часова область
x(t) = \mathcal{L}^{-1} \left\{ X(s) \right\}
Частотна область
X(s) = \mathcal{L}\left\{ x(t) \right\}
Область збіжності
1 ідеальне запізнення  \delta(t-\tau) \  e^{-\tau s} \
1a одиничний імпульс  \delta(t) \  1 \  \forall \  s \,
2 запізнення n-го порядку з частотним зсувом \frac{(t-\tau)^n}{n!} e^{-\alpha (t-\tau)} \cdot u(t-\tau)  \frac{e^{-\tau s}}{(s+\alpha)^{n+1}}  s > 0 \,
2a степенева n-го порядку {  t^n \over n! } \cdot u(t)  { 1 \over s^{n+1} }  s > 0 \,
2a.1 степенева q-го порядку {  t^q \over \Gamma(q+1) } \cdot u(t)  { 1 \over s^{q+1} }  s > 0 \,
2a.2 одинична функція  u(t) \  { 1 \over s }  s > 0 \,
2b одинична функція з запізненням  u(t-\tau) \  { e^{-\tau s} \over s }  s > 0 \,
2c «сходинка швидкості»  t \cdot u(t)\ \frac{1}{s^2}  s > 0 \,
2d n-го порядку з частотним зсувом \frac{t^{n}}{n!}e^{-\alpha t} \cdot u(t) \frac{1}{(s+\alpha)^{n+1}}  s > - \alpha \,
2d.1 експоненційне затухання  e^{-\alpha t} \cdot u(t)  \  { 1 \over s+\alpha }   s > - \alpha \
3 експоненційне наближення ( 1-e^{-\alpha t})  \cdot u(t)  \ \frac{\alpha}{s(s+\alpha)}   s > 0\
4 синус  \sin(\omega t) \cdot u(t) \  { \omega \over s^2 + \omega^2  }  s > 0  \
5 косинус  \cos(\omega t) \cdot u(t) \  { s \over s^2 + \omega^2  }  s > 0 \
6 гіперболічний синус  \sinh(\alpha t) \cdot u(t) \  { \alpha \over s^2 - \alpha^2 }  s > | \alpha | \
7 гіперболічний косинус  \cosh(\alpha t) \cdot u(t) \  { s \over s^2 - \alpha^2  }  s > | \alpha | \
8 експоненційно затухаючий
синус
e^{-\alpha t}  \sin(\omega t) \cdot u(t) \  { \omega \over (s+\alpha )^2 + \omega^2  }  s > -\alpha \
9 експоненційно затухаючий
косинус
e^{-\alpha t}  \cos(\omega t) \cdot u(t) \  { s+\alpha \over (s+\alpha )^2 + \omega^2  }  s > -\alpha \
10 корінь n-го порядку  \sqrt[n]{t} \cdot u(t)  s^{-(n+1)/n} \cdot \Gamma\left(1+\frac{1}{n}\right)  s > 0 \,
11 натуральний логарифм  \ln \left (  { t \over t_0 } \right ) \cdot u(t)  - { t_0 \over s} \  [ \  \ln(t_0 s)+\gamma \ ]  s > 0 \,
12 функція Бесселя
першого роду
порядку n
 J_n( \omega t) \cdot u(t) \frac{ \omega^n \left(s+\sqrt{s^2+ \omega^2}\right)^{-n}}{\sqrt{s^2 + \omega^2}}  s > 0 \,
 (n > -1) \,
13 модифікована функція Бесселя
першого роду
порядку n
I_n(\omega t) \cdot u(t)  \frac{ \omega^n \left(s+\sqrt{s^2-\omega^2}\right)^{-n}}{\sqrt{s^2-\omega^2}}  s > | \omega | \,
14 функція Бесселя
другого роду
нульового порядку
 Y_0(\alpha t) \cdot u(t)    
15 модифікована функція Бесселя
другого роду,
нульового порядку
 K_0(\alpha t) \cdot u(t)    
16 функція помилок  \mathrm{erf}(t) \cdot u(t)     {e^{s^2/4} \operatorname{erfc} \left(s/2\right) \over s}  s > 0 \,
Примітки до таблиці:

Застосування перетворення Лапласа[ред.ред. код]

Перетворення Лапласа широко використовується в математиці, фізиці і техніці.

Література[ред.ред. код]

  • Ван-дер Поль Б., Бремер Х. Операционное исчисление на основе двустороннего преобразования Лапласа.-М., ИЛ, 1952
  • Диткин В. А., Прудников А. П. Интегральные преобразования и операционное исчисление.- М, Физматгиз, 1961
  • Диткин В. А., Прудников А. П. Интегральные преобразования и операционное исчисление.- М, Физматгиз, 1974.-542 с.
  • Карслоу Х., Егер Д. Операционные методы в прикладной математике.-М., ИЛ, 1948
  • Кожевников Н. И., Краснощекова Т. И., Шишкин Н. Е. Ряды и интегралы Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. Преобразования Лапласа.-М., Наука, 1964
  • Краснов М. Л., Макаренко Г. И. Операционное исчисление. Устойчивость движения.-М., Наука, 1964.-103 с.
  • Микусинский Я. Операторное исчисление.-М., ИЛ, 1956
  • Романовский П. И. Ряды Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. Преобразования Лапласа.-М., Наука, 1980.-336 с.

Див. також[ред.ред. код]