Перетворення Лапла́са — інтегральне перетворення, що пов'язує функцію
комплексної змінної (зображення) з функцією
дійсної змінної (оригінал). За його допомогою досліджують властивості динамічних систем і розв'язуються диференціальні і інтегральні рівняння.
Однією з особливостей перетворення Лапласа, які зумовили його широке поширення в наукових і інженерних розрахунках, є те, що багатьом співвідношенням і операціям над оригіналам відповідають простіші співвідношення між їхніми зображеннями. Так, згортка двох функцій зводиться в просторі зображень до операції множення, а лінійні диференціальні рівняння стають алгебраїчними.
Пряме перетворення Лапласа[ред. | ред. код]
Перетворенням Лапласа функції дійсної змінної
, називається функція
комплексної змінної
, така що:

Права частина цього виразу називається інтегралом Лапласа.
Обернене перетворення Лапласа[ред. | ред. код]
Оберненим перетворенням Лапласа функції комплексної змінної
, називається функція
дійсної змінної, така що:

де
— деяке дійсне число. Права частина цього виразу називається інтегралом Бромвіча.
Двостороннє перетворення Лапласа[ред. | ред. код]
Двостороннє перетворення Лапласа визначається таким чином:

Дискретне перетворення Лапласа[ред. | ред. код]
Розрізняють
-перетворення і
-перетворення.
-перетворення
Нехай
— дискретна функція, тобто значення цієї функції визначені тільки в дискретні моменти часу
, де
— ціле число, а
— період дискретизації.
Тоді, застосовуючи перетворення Лапласа, одержуємо:
-перетворення
Якщо використати наведену заміну змінних:
,
одержимо Z-перетворення:
Якщо інтеграл Лапласа є абсолютно збіжним при
, тобто існує границя
,
то він є збіжним абсолютно і рівномірно для
і
— аналітична функція при
(
— дійсна частина комплексної змінної
). Точна нижня грань
множини чисел
, при яких ця умова виконується, називається абсцисою абсолютної збіжності перетворення Лапласа для функції
.
- Достатні умови існування прямого перетворення Лапласа
Перетворення Лапласа
існує в сенсі абсолютної збіжності в наступних випадках:
- Випадок
: перетворення Лапласа існує, якщо існує інтеграл 
- Випадок
: перетворення Лапласа існує, якщо інтеграл
існує для кожного скінченного
и
для 
- Випадок
або
(яка із границь більша): перетворення Лапласа існує,якщо існує перетворення Лапласа для функції
(похідна до
) для
.
- Достатані умови існування оберненого перетворення Лапласа
1. Якщо
— аналітична функція для
і має порядок менше −1, то обернене перетворення для неї існує і є неперервним для всіх значень аргумента, причому
для
2. Нехай
, так щоб
аналітична відносно кожного
і рівна нулю для
, і
, тоді обернене перетворення існує і відповідне пряме перетворення має абсцису абсолютної збіжності.
Перетворенням Лапласа згортки двох оригіналів є добуток зображень цих оригіналів.

Ліва частина цього виразу називається інтегралом Дюамеля.
- Диференціювання і інтегрування оригіналу
Для перетворення Лапласа від похідної функції виконується рівність:

Для похідної
-го порядку:

Перетворення Лапласа від інтеграла функції дорівнює:

- Дифренціювання та інтегрування зображення
Обернене перетворення Лапласа від похідної функції дорівнює:

Обернене перетворення Лапласа від похідної функції дорівнює:

- Запізнення оригіналів і зображень. Граничні теореми
Запізнення зображень:


Запізнення оригіналів:


де
— Функція Гевісайда.
Лінійність

Множення на число

Пряме і обернене перетворення Лапласа деяких функцій[ред. | ред. код]
№ |
Функція |
Часова область  |
Частотна область  |
Область збіжності
|
1 |
ідеальне запізнення |
 |
 |
|
1a |
одиничний імпульс |
 |
 |
|
2 |
запізнення n-го порядку з частотним зсувом |
 |
 |
|
2a |
степенева n-го порядку |
 |
 |
|
2a.1 |
степенева q-го порядку |
 |
 |
|
2a.2 |
одинична функція |
 |
 |
|
2b |
одинична функція з запізненням |
 |
 |
|
2c |
«сходинка швидкості» |
 |
 |
|
2d |
n-го порядку з частотним зсувом |
 |
 |
|
2d.1 |
експоненційне затухання |
 |
 |
|
3 |
експоненційне наближення |
 |
 |
|
4 |
синус |
 |
 |
|
5 |
косинус |
 |
 |
|
6 |
гіперболічний синус |
 |
 |
|
7 |
гіперболічний косинус |
 |
 |
|
8 |
експоненційно затухаючий синус |
 |
 |
|
9 |
експоненційно затухаючий косинус |
 |
 |
|
10 |
корінь n-го порядку |
![{\displaystyle {\sqrt[{n}]{t}}\cdot u(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4345a4c33a88daeb8ec5a3002d02d62f66ff3fb) |
 |
|
11 |
натуральний логарифм |
 |
![{\displaystyle -{t_{0} \over s}\ [\ \ln(t_{0}s)+\gamma \ ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6fce40449b6e96562216aebb919341a47876cf15) |
|
12 |
функція Бесселя першого роду порядку n |
 |
 |
|
13 |
модифікована функція Бесселя першого роду порядку n |
 |
 |
|
14 |
функція Бесселя другого роду нульового порядку |
 |
|
|
15 |
модифікована функція Бесселя другого роду, нульового порядку |
 |
|
|
16 |
функція помилок |
 |
 |
|
Примітки до таблиці:
— Функція Гевісайда.
— дельта-функція.
— гамма-функція.
— стала Ейлера — Маскероні.
, — дійсна змінна.
— комплексна змінна.
, , и — дійсні числа.
— ціле число.
|
Застосування перетворення Лапласа[ред. | ред. код]
Перетворення Лапласа широко використовується в математиці, фізиці і техніці.
- Ван-дер Поль Б., Бремер Х. Операционное исчисление на основе двустороннего преобразования Лапласа.-М., ИЛ, 1952
- Диткин В. А., Прудников А. П. Интегральные преобразования и операционное исчисление.- М, Физматгиз, 1961
- Диткин В. А., Прудников А. П. Интегральные преобразования и операционное исчисление.- М, Физматгиз, 1974.-542 с.
- Карслоу Х., Егер Д. Операционные методы в прикладной математике.-М., ИЛ, 1948
- Кожевников Н. И., Краснощекова Т. И., Шишкин Н. Е. Ряды и интегралы Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. Преобразования Лапласа.-М., Наука, 1964
- Краснов М. Л., Макаренко Г. И. Операционное исчисление. Устойчивость движения.-М., Наука, 1964.-103 с.
- Микусинский Я. Операторное исчисление.-М., ИЛ, 1956
- Романовский П. И. Ряды Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. Преобразования Лапласа.-М., Наука, 1980.-336 с.