Правило 72

Правило сімдесяти (правило 70) — емпіричний спосіб наближеної оцінки терміну, в котрий певне значення зросте вдвічі при постійному зростанні на певний відсоток.

Згідно з «правилом сімдесяти»,

$T\approx {\frac {70}{r}}$,

де r — річний відсоток зростання, T — термін (в роках) подвоєння суми. Наприклад, якщо на рахунок в банку вноситься певна сума грошей (наприклад, 1000 гривень) під r = 5 відсотків річних, то сума на рахунку подвоюється (до 2000 гривень) за термін приблизно рівний 14 рокам (T ≈ 70/5).

Множник 72 має більшу кількість дільників, що відповідають малим відсоткам (1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12), і тому є більш зручним як ділене в порівнянні з більш точним значенням 69 та більш легким для запам'ятовування значенням 70. Тому правило має варіації як «Правило 70», так і як «Правило 72» (але може бути також і в варіації «Правило 69»).

Історія

Перша згадка про це правило з'являється в Луки Пачолі в його математичній праці «Сума арифметики, геометрії, дробів, пропорцій та пропорціональності», що вийшла в світ в 1494 році. Між тим, Пачолі не наводить розрахунків і не пояснює дане правило, що дозволяє зробити висновок, що правило це було відомо раніше.

Правило 70 як апроксимація

Порівняння точної кривої та її апроксимації

«Правило сімдесяти» є апроксимацією через гіперболу точної формули

$~T=\log _{1+R}2$

Розклавши в ряд цей вираз для малих R, отримаєм $T\approx {\frac {\ln 2}{R}}$. Переходячи від R частин цілого до відсотків (r = R*100), отримаєм $T\approx {\frac {100\ln 2}{r}}$. Так як ln 2 ≈ 0,693147, то найбільш точним серед цілих чисел при використанні малих відсотків є ділене 69.

Дві криві, що задаються цими функціями, досить добре збігаються (див. малюнок).

Похибка «правила сімдесяти»

Абсолютна похибка «правила сімдесяти»

Відносна похибка «правила сімдесяти»

Абсолютна похибка при використанні «правила сімдесяти» не перевищує чотирьох місяців, якщо річний відсоток r > 1,01 %.

При r = 2 % точна формула та «правило сімдесяти» дають майже ідентичні результати.

Відносна похибка починаючи з r = 2 % та вищє постійно зростає, досягаючи 9.86 % при r = 25 %.

Інші варіації правила

Замість 70 % також використовуються числа від 69 % до 72 %. Таким чином, згадуються «правило 69», «правило 70», «правило 71», «правило 72».

Інші варіанти використання

Правило сімдесяти може використовуватись не тільки для оцінки зросту грошових сум, але і для будь-яких інших процесів, що описуються експоненційним законом.

Тремін також не має обов'язково розраховуватись в роках; необхідною умовою є лише збіг одиниць вимірювання терміну відсотка зміни $r$ з одиницями вимірювання терміну подвоєння $T$.

Крім того, значення не обов'язково має збільшуватись — воно може також зменшуватись на r відсотків за одиницю терміну. В цьому випадку оцінюється відповідно не термін подвоєння знаяння, а термін його зменшення вдвічі.

Зразки:

1. Оцінка терміну, протягом якого ціни подвояється в результаті інфляції, якщо за рік вони ростуть на r відсотків.
2. Тактова частота процесорів росте в средньому на r відсотків в місяць. За скільки місяців вона подвоїться? (див. закон Мура)
3. За тисячу років кількість радіоактивного матеріалу в злитку зменшується на r відсотків. За який час кількість радіоактивного матеріалу скоротиться вдвічі? (див. Період напіврозпаду)