Симетрична алгебра

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

У лінійній алгебрі і теорії кілець симетрична алгебра — алгебра над полем чи над кільцем, що є певною мірою узагальненням алгебри многочленів. Симетрична алгебра є підалгеброю тензорної алгебри і має багато спільних властивостей із зовнішньою алгеброю.

Означення[ред. | ред. код]

Якщо модуль над коммутативно-асоціативним кільцем з одиницею, , де , — тензорна алгебра модуля . Введемо також ідеал виду

.

Симетричною алгеброю модуля називається алгебра .

Властивості[ред. | ред. код]

  • Симетрична алгебра є комутативною і асоціативною -алгеброю з одиницею.
  • Симетрична алгебра є градуйованою:
.
де .
Зокрема . Модуль називається k-им симетричним степенем модуля .
  • Якщо вільний модуль із скінченним базисом , то відповідність продовжується до ізоморфізму алгебри і алгебри многочленів . Таким чином симетричну алгебра є узагальненням алгебри многочленів
  • Для будь-якого гомоморфізму A- модулів k-ий тензорний степінь індукує гомоморфізм (k-ий симетричний степінь гомоморфізму ). Ці гомоморфізми разом задають гомоморфізм A-алгебр . Відповідності і є відповідно коваріантними функторами з категорії -модулів в себе і в категорію А-алгебр.
  • Для будь-яких двох A-модулів М і N існує природний ізоморфізм .
  • Якщо векторний простір над полем характеристики 0, то симетрична алгебра є ізоморфною алгебрі симетричних контраваріантних тензорів (тобто алгебрі полілінійних відображень ) на разом з операцією симетричного множення:
Якщо — два контраваріантні тензори відповідних порядків то їх симетричний добуток за означенням задається як
  • Якщо — векторний простір розмірності n, то розмірність k-ого симетричного степеня рівна
.
Як наслідок розмірність усієї симетричної алгебри є нескінченною, на відміну від випадку зовнішньої алгебри.
  • Симетрична алгебра на векторному просторі є вільним об'єктом категорії комутативних асоціативних алгебр з одиницею.

Див. також[ред. | ред. код]

Посилання[ред. | ред. код]

Література[ред. | ред. код]

  • Bourbaki, Nicolas (1989). Elements of mathematics, Algebra I. Springer-Verlag. ISBN 3-540-64243-9. 
  • Johan L. Dupont: Curvature and characteristic classes. Lecture Notes in Mathematics, Vol. 640. Springer, Berlin-New York 1978. ISBN 3-540-08663-3