Симетрична алгебра
Перейти до навігації
Перейти до пошуку
У лінійній алгебрі і теорії кілець симетрична алгебра — алгебра над полем чи над кільцем, що є певною мірою узагальненням алгебри многочленів. Симетрична алгебра є підалгеброю тензорної алгебри і має багато спільних властивостей із зовнішньою алгеброю.
Якщо — модуль над коммутативно-асоціативним кільцем з одиницею, , де , — тензорна алгебра модуля . Введемо також ідеал виду
- .
Симетричною алгеброю модуля називається алгебра .
- Симетрична алгебра є комутативною і асоціативною -алгеброю з одиницею.
- Симетрична алгебра є градуйованою:
- .
- де .
- Зокрема . Модуль називається k-им симетричним степенем модуля .
- Якщо — вільний модуль із скінченним базисом , то відповідність продовжується до ізоморфізму алгебри і алгебри многочленів . Таким чином симетричну алгебра є узагальненням алгебри многочленів
- Для будь-якого гомоморфізму A- модулів k-ий тензорний степінь індукує гомоморфізм (k-ий симетричний степінь гомоморфізму ). Ці гомоморфізми разом задають гомоморфізм A-алгебр . Відповідності і є відповідно коваріантними функторами з категорії -модулів в себе і в категорію А-алгебр.
- Для будь-яких двох A-модулів М і N існує природний ізоморфізм .
- Якщо — векторний простір над полем характеристики 0, то симетрична алгебра є ізоморфною алгебрі симетричних контраваріантних тензорів (тобто алгебрі полілінійних відображень ) на разом з операцією симетричного множення:
- Якщо — два контраваріантні тензори відповідних порядків то їх симетричний добуток за означенням задається як
- Якщо — векторний простір розмірності n, то розмірність k-ого симетричного степеня рівна
- .
- Як наслідок розмірність усієї симетричної алгебри є нескінченною, на відміну від випадку зовнішньої алгебри.
- Симетрична алгебра на векторному просторі є вільним об'єктом категорії комутативних асоціативних алгебр з одиницею.
- Hazewinkel, Michiel, ред. (2001), algebra Symmetric algebra, Математична енциклопедія, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
- Bourbaki, Nicolas (1989), Elements of mathematics, Algebra I, Springer-Verlag, ISBN 3-540-64243-9
- Johan L. Dupont: Curvature and characteristic classes. Lecture Notes in Mathematics, Vol. 640. Springer, Berlin-New York 1978. ISBN 3-540-08663-3