Градуйована алгебра

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

В математиці градуйованою алгеброю (кільцем, модулем) називається алгебра (кільце,модуль) із спеціальною структурою — градуюванням.

Градуйовані кільця[ред.ред. код]

Градуйоване кільце Aкільце, що є прямою сумою комутативних адитивних груп:

A = \bigoplus_{n\in \mathbb N}A_n = A_0 \oplus A_1 \oplus A_2 \oplus \cdots

і виконується властивість:

x \in A_s, y \in A_r \implies xy \in A_{s+r}

тобто

 A_s A_r \subseteq A_{s + r}.

Елементи A_n називаються однорідними елементами порядку n. Ідеал \mathfrak{a}A називається однорідним, якщо для кожного елемента a\mathfrak{a}, всі однорідні складові a також належать \mathfrak{a}.

Якщо I — однорідний ідеал в A, тоді фактор-кільце A/I також є градуйованим кільцем, що має розклад:

A/I = \bigoplus_{n\in \mathbb N}(A_n + I)/I.

Градуйовані модулі[ред.ред. код]

Подібним чином визначається поняття градуйованого модуля. Модуль M над градуйованим кільцем A називається градуйованим якщо:

M = \bigoplus_{i\in \mathbb N}M_i ,

і

A_iM_j \subseteq M_{i+j}.

Градуйовані алгебри[ред.ред. код]

Алгебра A над кільцем R називається градуйованою алгеброю, якщо вона є градуйованою як кільце. У випадку якщо кільце R є також градуйованим, то також вимагається виконання умов:

  1. A_iR_j \subset A_{i+j}, і
  2. R_iA_j \subset A_{i+j}.

G - градуйована алгебра[ред.ред. код]

Нехай Aалгебра над кільцем k, Gмоноїд.

Алгебра A називається G-градуйованою, якщо A розкладається в пряму суму k-модулів A_g по всіх елементах g з G, причому множення в алгебрі узгоджене з множенням в моноїді:

A_f A_g \subset A_{fg}

Якщо ненульовий елемент a належить A_g, то він називається однорідним степеня g.

Подібним чином можна визначити і G - градуйовані кільця і модулі.

Конструкції з градуюваннями[ред.ред. код]

  • Якщо AG-градуйована алгебра, а \psi : G\to Hгомоморфізм напівгруп, тоді A наділяється H-градуюванням за правилом:
A_h=\oplus_{g\in G} \{A_g|\psi (g)=h\}
  • На будь-якій алгебрі A можна ввести тривіальне градуювання будь-якою напівгрупою G з одиницею e, вважаючи A_e=A.
G=(T(Aut_{k-alg}(A)))^\vee:\quad A_g=\{a\in A|\phi (a)=g(\phi)a, для всякого \phi\in T(Aut_{k-alg}(A))\}.

Приклади[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]

  • C. Nastasescu, F. Van Oystaeyen Graded Ring Theory, — North-Holland, Amsterdam,1982