Градуйована алгебра

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

В математиці градуйованою алгеброю (кільцем, модулем) називається алгебра (кільце,модуль) із спеціальною структурою — градуюванням.

Градуйовані кільця[ред.ред. код]

Градуйоване кільце Aкільце, що є прямою сумою комутативних адитивних груп:

і виконується властивість:

тобто

Елементи називаються однорідними елементами порядку n. Ідеал A називається однорідним, якщо для кожного елемента a, всі однорідні складові a також належать

Якщо I — однорідний ідеал в A, тоді фактор-кільце також є градуйованим кільцем, що має розклад:

Градуйовані модулі[ред.ред. код]

Подібним чином визначається поняття градуйованого модуля. Модуль M над градуйованим кільцем A називається градуйованим якщо:

і

Градуйовані алгебри[ред.ред. код]

Алгебра A над кільцем R називається градуйованою алгеброю, якщо вона є градуйованою як кільце. У випадку якщо кільце R є також градуйованим, то також вимагається виконання умов:

  1. , і
  2. .

G - градуйована алгебра[ред.ред. код]

Нехай Aалгебра над кільцем k, Gмоноїд.

Алгебра A називається G-градуйованою, якщо A розкладається в пряму суму k-модулів по всіх елементах g з G, причому множення в алгебрі узгоджене з множенням в моноїді:

Якщо ненульовий елемент a належить , то він називається однорідним степеня g.

Подібним чином можна визначити і G - градуйовані кільця і модулі.

Конструкції з градуюваннями[ред.ред. код]

  • Якщо AG-градуйована алгебра, а гомоморфізм напівгруп, тоді A наділяється H-градуюванням за правилом:
  • На будь-якій алгебрі A можна ввести тривіальне градуювання будь-якою напівгрупою G з одиницею e, вважаючи .
для всякого .

Приклади[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]

  • C. Nastasescu, F. Van Oystaeyen Graded Ring Theory, — North-Holland, Amsterdam,1982