Смеш-добуток

У математиці, смеш-добутком (або ∧-добутком) двох просторів із виділеними точками (X, x₀) і (Y, y₀) називається фактор-простір добутку просторів X × Y щодо відношення еквівалентності (x, y₀) ∼ (x₀, y) для всіх x ∈ X і y ∈ Y. Смеш-добуток є простором із виділеною точкою, якою є клас еквівалентності (x₀, y₀). Смеш-добуток зазвичай позначається X ∧ Y або X ⨳ Y. Смеш-добуток залежить від вибору виділених точок (якщо X і Y не є однорідними просторами).

Смеш-добуток найчастіше використовується у теорії гомотопії. Оскільки в теорії гомотопії часто розглядаються інші категорії окрім категорії усіх топологічних просторів іноді використовуються модифікації в означенні смеш-добутку. Наприклад, смеш-добуток двох CW-комплексів є CW комплекс лише якщо в означенні замість звичайного добутку топологічних просторів використовується добуток CW комплексів.

Означення

Еквівалентно означення смеш-добутку можна дати за допомогою букету просторів.

Простори X і Y можна ідентифікувати із підпросторами X × Y, а саме X × {y₀} і {x₀} × Y. Ці підпростори перетинаються в єдиній точці: (x₀, y₀), яка є виділеною точкою у X × Y. Об'єднання цих підпросторів можна ідентифікувати із букетом просторів X ∨ Y. Ідентифікація породжується двома неперервними відображеннями: $f_{1}:\ X\to X\times y_{0}\quad x\to x\times y_{0},\ f_{2}:\ Y\to x_{0}\times Y\quad y\to x_{0}\times y.$ Відображення відправляють виділені точки просторів X і Y у виділену точку (x₀, y₀) і тому індукують відображення $f:X\vee Y\to X\times y_{0}\cup x_{0}\times Y.$ Це відображення є гомеоморфізмом.

Тоді еквівалентно можна дати означення смеш-добутку як фактор-простору

$X\wedge Y=(X\times Y)/(X\vee Y).$

Якщо $f:X\to A$ і $g:Y\to B$ є неперервними відображеннями між просторами із виділеними точками і $f\times g:X\times Y\to A\times B$ стандартний тензорний добуток функцій, то $f\times g(X\vee Y)\subset A\vee B.$ Тому можна дати означення смеш-добутку функцій між просторами із виділеними точками: якщо $x\wedge y$ є класом еквівалентності $x\times y$ у $X\wedge Y$ то $f\wedge g(x\wedge y)=f(x)\wedge g(x).$

Властивості

• Смеш-добуток будь-якого простору із виділеною точкою X із 0-сферою (яка є дискретним простором із двома точками) є гомеоморфним простору X.
• Якщо $f:X\to A,\ h:A\to C$, а також $g:Y\to B,\ k:B\to D$ є неперервними відображеннями між просторами із виділеними точками то $(f\wedge g)\circ (h\wedge k)=(h\circ f)\wedge (k\circ g).$
• Якщо $f,f':X\to A$ є гомотопними між собою і $g,g':Y\to B$ теж є гомотопними, то і відображення $f\wedge g$ і $f'\wedge g'$ є гомотопними. Також $f\wedge g$ є гомеоморфізмом, якщо гомеоморфізмами є $f$ і $g.$
• Для будь-яких трьох просторів $X,Y,Z$ із виділеними точками простори $(X\vee Y)\wedge Z$ і $(X\wedge Z)\vee (Y\wedge Z)$ є гомеоморфними.
• Якщо додатково $X,Y$ є компактними просторами і $Y$ є гаусдорфовим або $Y,Z$ є компактними просторами і $Z$ є гаусдорфовим то також $(X\wedge Y)\wedge Z\cong X\wedge (Y\wedge Z).$
• Натомість для категорії усіх топологічних просторів з виділеними точками, остання властивість не виконується. Як контрприклад можна розглянути $X=Y=\mathbb {Q}$ і $Z=\mathbb {N}$.
• Категорії просторів із виділеними точками (наприклад компактно породжені простори) у яких існують натуральні (із збереженням виділених точок) гомеоморфізми

  ${\begin{aligned}X\wedge Y&\cong Y\wedge X,\\(X\wedge Y)\wedge Z&\cong X\wedge (Y\wedge Z)\end{aligned}}$

є симетричною моноїдальними категоріями де смеш-добуток є моноїдальним добутком, а 0-сфера є одиничним об'єктом. Смеш-добуток можна розглядати як тензорний добуток у відповідній категорії просторів з виділенимими точками.

Приклади

Візуалізація смеш-добутку $S^{1}\wedge S^{1}$, як фактор-простору $(S^{1}\times S^{1})/(S^{1}\vee S^{1})$.

• Смеш-добуток двох кіл є фактор-простором тора гомеоморфним 2-сфері.
• Смеш-добуток двох сфер S^m і Sⁿ є гомеоморфним сфері S^m+n.

Якщо позначити $E^{n}$ одиничну кулю відповідної розмірності, то $S^{n}$ є гомеоморфною $E^{n}/S^{n-1}.$ Також існує гомеоморфізм між парами просторів $(E^{n+m},S^{n+m-1})$ і $(E^{n}\times E^{m},E^{n}\times S^{m-1}\cup S^{n-1}\times E^{m})$ і тому фактор-простір $(E^{n+m}/S^{n+m-1})$ є гомеоморфним фактор-простору $E^{n}\times E^{m}/E^{n}\times S^{m-1}\cup S^{n-1}\times E^{m}.$

Розглянемо тепер композицію відображення $E^{n}\times E^{m}\to (E^{n}/S^{n-1})\times (E^{m}/S^{m-1})\to (E^{n}/S^{n-1})\wedge (E^{m}/S^{m-1}),$ де оба відображення є очевидними відображеннями на фактор-простори. Ця композиція є відображенням простору $E^{n}\times E^{m}$ на фактор-простір по підпростору $E^{n}\times S^{m-1}\cup S^{n-1}\times E^{m}.$ Образ цього підпростору є виділеною точкою у $(E^{n}/S^{n-1})\wedge (E^{m}/S^{m-1}).$ Тому $(E^{n}\times E^{m})/(E^{n}\times S^{m-1}\cup S^{n-1}\times E^{m})$ є гомеоморфним $(E^{n}/S^{n-1})\wedge (E^{m}/S^{m-1}).$ Разом з попереднім звідси випливає, що $(E^{n+m}/S^{n+m-1})$ є гомеоморфним $(E^{n}/S^{n-1})\wedge (E^{m}/S^{m-1}).$ І остаточно звідси одержується гомеоморфізм $S^{n+m}$ і $S^{n}\wedge S^{m}.$

• Смеш-добуток простору X із колом є гомеоморфним редукованій надбудові X:

  $\Sigma X\cong X\wedge S^{1}.$

• Аналогічно із редукованою надбудовою за допомогою смеш-добутку можна дати означення редукованого конуса: для простору X редукованим конусом називається смеш-добуток $X\wedge I,$ де $I$ позначає одиничний відрізок $[0,1].$ Редукований конус є стягуваним простором.
• k-разове застосування редукованої надбудови до простору X приводить до простору гомеоморфного смеш-добутку X і k-сфери

  $\Sigma ^{k}X\cong X\wedge S^{k}.$

Відношення спряження

Аналогію між тензорним добутком і смеш-добутком можна більш точно описати за допомогою спряжених функторів. У категорії модулів над комутативним кільцем R, функтор тензорного добутку $(-\otimes _{R}A)$ є лівим спряженим до функтора Hom $\mathrm {Hom} (A,-)$ тобто:

$\mathrm {Hom} (X\otimes A,Y)\cong \mathrm {Hom} (X,\mathrm {Hom} (A,Y)).$

У категорії просторів із виділеними точками, смеш-добуток відіграє роль тензорного добуток у цій формулі. Зокрема, якщо A є локально компактним гаусдорфовим простором, тоді є спряження:

$\mathrm {Maps_{*}} (X\wedge A,Y)\cong \mathrm {Maps_{*}} (X,\mathrm {Maps_{*}} (A,Y))$

де $\operatorname {Maps_{*}}$ позначає неперервні відображення, що відображають виділену точку у виділену точку і на $\mathrm {Maps_{*}} (A,Y)$ задана компактно-відкрита топологія.

Зокрема, якщо $A$ є одиничне коло $S^{1}$, то функтор надбудови $\Sigma$ є лівим спряженим до функтора простору петель $\Omega$:

$\mathrm {Maps_{*}} (\Sigma X,Y)\cong \mathrm {Maps_{*}} (X,\Omega Y).$

Див. також

• Букет просторів
• Надбудова (топологія)
• Тензорний добуток

Література

• Hatcher, Allen (2002). Algebraic Topology. Cambridge University Press. ISBN 0-521-79540-0. Архів оригіналу за 20 лютого 2012. Процитовано 8 травня 2020.
• Maunder, Charles Richard Francis (1980), Algebraic topology, Cambridge University Press, ISBN 9780521231619