Простір петель

Простір петель — конструкція у топології, особливо важлива у теорії гомотопії.

Означення

Нехай $(X,x_{0})$ є топологічним простором із виділеною точкою. Нехай $C([0,1],X)$ є простором усіх неперервних функцій $w:[0,1]\rightarrow X$, із компактно-відкритою топологією. Простором петель $(X,x_{0})$ називається підпростір

$\Omega (X,x_{0}):=\{w\in C([0,1],X)\,\mid \,w(0)=w(1)=x_{0}\}$

з топологією підпростору.

Еквівалентно можна розглянути одиничне коло $S^{1}$ із деякою виділеною точкою $s_{0}$ і тоді задати

$\Omega (X,x_{0}):=\{w\in C(S^{1},X)\,\mid \,w(s_{0})=x_{0}\}$

Елементами простору $\Omega (X,x_{0})$ є замкнуті контури $w$ із початковою та кінцевою точкою $x_{0}$.

Простір петель $\Omega (X,x_{0})$ є топологічним простором із виділеною точкою, за яку можна взяти петлю $k:S^{1}\rightarrow X,k(t)=x_{0}$ для всіх $t\in S^{1}$.

Іноді також розглядається вільний простір петель, який є аналогом для просторів без виділеної точки. Такий простір часто позначається ${\mathcal {L}}X$ і за означенням є множиною усіх неперервних відображень із $S^{1}$ у $X$ із компактно-відкритою топологією.

Простір петель як функтор

Якщо $(X,x_{0})$ і $(Y,y_{0})$ є топологічними просторами із виділеними точками і $f:(X,x_{0})\rightarrow (Y,y_{0})$ є неперервним відображенням, воно породжує неперервне відображення між просторами петель

$\Omega f:\Omega (X,x_{0})\rightarrow \Omega (Y,y_{0}),w\mapsto f\circ w$.

Якщо $(Z,z_{0})$ є третім топологічним простором із виділеною точкою і $g:(Y,y_{0})\rightarrow (Z,z_{0})$ є неперервним відображенням то

$\Omega (g\circ f)=\Omega g\circ \Omega f$.

Таким чином одержується функтор на категорії топологічних просторів із виділеною точкою.

Гомотопії та фундаментальні групи

Гомотопією між двома петлями $v,w\in \Omega (X,x_{0})$ називається неперервне відображення

$H:[0,1]\times [0,1]\rightarrow X$, для якого

$H(s,0)=v(s)$   для всіх $s\in [0,1]$

$H(s,1)=w(s)$   для всіх $s\in [0,1]$

$H(0,t)=H(1,t)=x_{0}$ для всіх $t\in [0,1]$

Можна уявити, що петлі $v=H(\cdot ,0)$ і $w=H(\cdot ,1)$ за допомогою відображення $H(\cdot ,t)$ постійно «деформуються» одна в іншу. Остання з вищезазначених умов забезпечує, що всі $H(\cdot ,t)$ також є петлями з виділеною точкою $x_{0}$. Такі гомотопії, які фіксують виділену точку топологічного простору називаються також точковими гомотопіями.

Гомотопія між петлями — відношення еквівалентності, множина класів еквівалентності на $\Omega (X,x_{0})$ позначається $\pi _{1}(X,x_{0})$. Клас еквівалентності петлі $w$ позначається $[w]$ і називається класом гомотопії.

Якщо задано дві петлі $v,w\in \Omega (X,x_{0})$, для них можна дати означення добутку $v*w$, як петлі, яка спочатку пробігає петлю $v$, а потім $w$. Точніше

$(v*w)(t)={\begin{cases}v(2t)&t\in [0,{\textstyle {\frac {1}{2}}}]\\w(2t-1)&t\in [{\textstyle {\frac {1}{2}}},1]\end{cases}}$.

Цей добуток сумісний з гомотопією петель, індукує добуток на множині $\pi _{1}(X,x_{0})$ класів гомотопії: $[v]*[w]:=[v*w]$. Разом із цим добутком $\pi _{1}(X,x_{0})$ є групою, яка називається фундаментальною групою для $(X,x_{0}).$ Нейтральним елементом цієї групи є $[k]$, клас гомотопії постійної петлі.

Зв'язок із редукованою надбудовою

За означенням редукована надбудова $\Sigma (X,x_{0})$ топологічного простору із виділеною точкою $(X,x_{0})$ є фактор-простором

$\Sigma (X,x_{0})=(X\times [0,1])/(X\times \{0\}\cup X\times \{1\}\cup \{x_{0}\}\times [0,1])$.

Нехай $q:X\times [0,1]\rightarrow \Sigma (X,x_{0})$ позначає відображення на фактор-простір і образ підпростору $X\times \{0\}\cup X\times \{1\}\cup \{x_{0}\}\times [0,1]$ є виділеною точкою у $\Sigma (X,x_{0})$. Якщо $(Y,y_{0})$ є ще одним топологічним простором із виділеною точкою то для неперервного відображення

$f:\Sigma (X,x_{0})\rightarrow (Y,y_{0})$

одержується неперервне відображення

$f\circ q:X\times [0,1]\rightarrow Y$

і також неперервне відображення

${\tilde {f}}:(X,x_{0})\rightarrow \Omega (Y,y_{0}),\,({\tilde {f}}(x))(t):=(f\circ q)(x,t),\quad x\in X,t\in [0,1]$.

Оскільки образами $(x,0)$ і $(x,1)$ при відображенні $q$ є виділена точка у $\Sigma (X,x_{0})$ і $f$ є відображенням просторів із виділеною точкою, то $(f\circ q)(x,0)=(f\circ q)(x,1)=y_{0}$, тобто ${\tilde {f}}(x)$ є елементом простору петель $\Omega (Y,y_{0})$.

Таким чином існує бієктивне відображення

$C(\Sigma (X,x_{0}),(Y,y_{0}))\rightarrow C((X,x_{0}),\Omega (Y,y_{0})),\,f\mapsto {\tilde {f}}$.

у категорії топологічних просторів із виділеною точкою це відображення є сумісним із точковими гомотопіями, і тому індукує бієкцію між множинами класів гомотопії. У цьому сенсі функтори $\Omega$ і $\Sigma$ є спряженими. Цей зв'язок між функторами простору петель і редукованої надбудови часто називають двоїстістю Екмана — Хілтона.

Аналогічно функтор вільного простору петель є правим спряженим до функтора добутку топологічного простору із простором $S^{1}$.

Додатково також оскільки редукована надбудова завжди є асоціативним H'-простором із оберненими елементами (в сенсі гомотопії), а простір петель є асоціативним H-простором із оберненими елементами (в сенсі гомотопії), то на класах гомотопій $\left[\Sigma (X,x_{0}),(Y,y_{0})\right]$ і $[(X,x_{0}),\Omega (Y,y_{0})]$ можна задати стандартні групові структури і тоді породжена бієкція між цими множинами також є ізоморфізмом груп.

Важливим частковим випадком є коли $(X,x_{0})=(S^{n},s_{0})$ тобто є n-гіперсферою із виділеною точкою. Тоді за означенням $\left[\Sigma (X,x_{0}),(Y,y_{0})\right]$ є гомотопічною групою $\pi _{n}(Y,y_{0})$, а редукована надбудова $\Sigma (S^{n},s_{0})$ є гомеоморфною гіперсфері $(S^{n+1},s_{0})$. Тому із попереднього випливає для будь якого простору із виділеною точкою $(Y,y_{0})$ ізоморфізм:

$\pi _{n}(Y,y_{0})\simeq \pi _{n-1}(\Omega (Y,y_{0}))$.

Див. також

• Компактно-відкрита топологія
• Надбудова (топологія)
• Смеш-добуток
• Фундаментальна група
• Петля (топологія)

Література

• Maunder, Charles Richard Francis (1980), Algebraic topology, Cambridge University Press, ISBN 9780521231619
• Tammo tom Dieck: Algebraic Topology, European Mathematical Society (2008), ISBN 978-3-03719-048-7