Розподіл Максвелла — Больцмана

Розподіл Максвелла — Больцмана
Щільність розподілу
Функція розподілу ймовірностей
Параметри	$a>0\,$
Носій функції	$x\in [0;\infty )$
Розподіл імовірностей	${\sqrt {\frac {2}{\pi }}}{\frac {x^{2}e^{-x^{2}/(2a^{2})}}{a^{3}}}$
Функція розподілу ймовірностей (cdf)	${\textrm {erf}}\left({\frac {x}{{\sqrt {2}}a}}\right)-{\sqrt {\frac {2}{\pi }}}{\frac {xe^{-x^{2}/(2a^{2})}}{a}},$ де erf — функція помилок
Середнє	$\mu =2a{\sqrt {\frac {2}{\pi }}}$
Мода	${\sqrt {2}}a$
Дисперсія	$\sigma ^{2}={\frac {a^{2}(3\pi -8)}{\pi }}$
Коефіцієнт асиметрії	$\gamma _{1}={\frac {2{\sqrt {2}}(16-5\pi )}{(3\pi -8)^{3/2}}}$
Коефіцієнт ексцесу	$\gamma _{2}=4{\frac {(-96+40\pi -3\pi ^{2})}{(3\pi -8)^{2}}}$
Ентропія	${\frac {1}{2}}-\gamma -\ln(a{\sqrt {2\pi }})$

Розпо́діл Ма́ксвелла — Бо́льцмана визначає ймовірність того, що частинка ідеального газу перебуває в стані з певною енергією.

Ймовірність того, що частинка перебуває в стані з енергією $\varepsilon _{k}$ згідно з розподілом Больцмана визначається формулою:

$p_{k}=n_{k}/N=e^{(\mu -\varepsilon _{k})/k_{B}T}=Ae^{(-\varepsilon _{k})/k_{B}T}$,

де μ — хімічний потенціал, T — температура, k_B — стала Больцмана, N — число частинок.

$A=e^{(\mu )/k_{B}T}$ — параметр виродження.

Хімічний потенціал μ визначається з умови

$\sum _{k}n_{k}=N.$.

Розподіл Больцмана справедливий тільки в тих випадках, коли $p_{k}\ll 1$. Ця умова реалізується при високих температурах.

Граничний випадок квантовомеханічних розподілів

В квантовій статистиці розподіли для ферміонів і бозонів мають різний вигляд і різні властивості. Проте при високій температурі, коли ймовірність знайти частку в будь-якому стані набагато менша за одиницю, як розподіл Фермі — Дірака так і розподіл розподіл Бозе — Ейнштейна переходять в розподіл Больцмана.

Розподіл Больцмана в класичній статистиці

В класичній статистиці частка ідеального газу має лише кінетичну енергію.

Число часток з імпульсами в проміжку $(\mathbf {p} ,\mathbf {p} +d\mathbf {p} )$ визначається формулою:

$dn_{\mathbf {p} }={\frac {N}{V(2\pi mk_{B}T)^{3/2}}}e^{-p^{2}/2mk_{B}T}dp_{x}dp_{y}dp_{z}$,

де m — маса частки.

У випадку коли дана формула виражена через швидкості, а не через імпульси, вона носить назву розподілу Максвелла

$dn_{\mathbf {v} }={\frac {N}{V}}\left({\frac {m}{2\pi k_{B}T}}\right)^{3/2}e^{-mv^{2}/2k_{B}T}dv_{x}dv_{y}dv_{z}$.

Розподіл Больцмана в зовнішньому потенціальному полі

У випадку, коли частки ідеального газу перебувають у зовнішньому полі з потенціалом $U(\mathbf {r} )$, це збільшує їхню енергію. В такому випадку, розподіл Больцмана визначає залежну від координати густину часток:

$n(\mathbf {r} )=n_{0}e^{-U(\mathbf {r} )/k_{B}T}$.

Зокрема, у випадку газу в полі тяжіння Землі це співвідношення визначає барометричну формулу

$n(z)=n_{0}e^{-mgz/k_{B}T}$.

Аналогічні формули справедливі для розподілу густини носіїв заряду (електронів чи дірок) у електричному полі в напівпровідникових приладах.

Див. також

• Розподіл Максвелла молекул ідеального газу за швидкостями
• Статистика Бозе — Ейнштейна
• Статистика Фермі — Дірака

Джерела

• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Статистическая физика. Часть 1 // Теоретическая физика. — М. : Физматлит, 2005. — Т. 5. — 616 с.

Посилання

• Елементи фізики твердого тіла