Показник заломлення

Показник заломлення
Одиниці вимірювання
Показник заломлення у Вікісховищі

Заломлення променя світла у пластиковому матеріалі

Показник заломлення, або абсолютний показник заломлення, — це характерне для середовища число, яке визначає в скільки разів швидкість розповсюдження світла в середовищі менша за швидкість світла у вакуумі.

Іноді вживають термін «абсолютний показник заломлення» — відношення швидкості світла у вакуумі до швидкості світла в даному середовищі. Абсолютний показник заломлення майже завжди (за нечисленними винятками, які описано далі) більший за одиницю, оскільки швидкість світла у будь-якому середовищі менша, ніж швидкість світла у вакуумі.

Показник заломлення залежить від частоти світла. Може бути обрахований і для електромагнітного випромінювання поза видимим діапазоном.

Зазвичай позначається латинською літерою n, і визначається як:

$n={\frac {c}{v}},$

де c — швидкість світла у вакуумі і v це фазова швидкість світла в середовищі. Наприклад, показник заломлення води становить 1,333, що означає, що світло у воді рухається зі швидкістю 225000 км/с, в 1,333 рази повільніше, ніж у вакуумі.

Для випадку, якщо світло проходить межу між двома середовищами, то для обчислення кута заломлення використовують відносний показник заломлення, що дорівнює відношенню абсолютних показників заломлення першого і другого середовищ. Відносний показник заломлення може бути більшим за одиницю, якщо промінь переходить з менш оптично густого середовища в більш оптично густе, і меншим, у протилежному випадку.

Залежність траєкторії світла від кута падіння, при переході з води в повітря

Якщо промінь переходить з середовища з меншим показником заломлення, в середовище з більшим (наприклад, з повітря в воду), то кут між променем і нормаллю до межі розділу зменшується після заломлення, і навпаки, при переході з більш оптично густого середовища до менш оптично густого, кут збільшується. У другому випадку кут заломлення може перевищувати 90°, і в такому випадку заломлення не відбувається взагалі, і все світло відбивається — це явище називається повне внутрішнє відбиття.

Для вимірювання показника заломлення використовуються рефрактометри.

Зв'язок між швидкістю та кутом заломлення світла

Щоб зрозуміти, чому швидкість світла у середовищі впливає на заломлення, можна скористатись принципом Ферма, згідно з яким світло розповсюджується по траєкторії, що дозволяє йому найшвидше дістатись з однієї точки до іншої.

Час, який займе шлях з точки А в точку В (на діаграмі справа) в залежності від точки падіння на межу розділу, дорівнює

$T={\frac {\sqrt {a^{2}+X^{2}}}{V_{1}}}+{\frac {\sqrt {b^{2}+(d-X)^{2}}}{V_{2}}}$

Для знаходження мінімуму ми можемо взяти похідну цього виразу і прирівняти її до нуля:

${\frac {dT}{dX}}={\frac {X}{V_{1}{\sqrt {a^{2}+X^{2}}}}}+{\frac {-(d-X)}{V_{2}{\sqrt {b^{2}+(d-X)^{2}}}}}=0$

враховуючи, що

${\frac {X}{\sqrt {a^{2}+X^{2}}}}=sin\alpha$

${\frac {-(d-X)}{\sqrt {b^{2}+(d-X)^{2}}}}=sin\beta$

вираз можна спростити до

${\frac {sin\alpha }{V_{1}}}+{\frac {-sin\beta }{V_{2}}}=0$

з чого випливає, що

${\frac {sin\alpha }{sin\beta }}={\frac {V_{1}}{V_{2}}}$

Останнє рівняння також відоме як закон Снеліуса.

Показник заломлення для непрозорих середовищ

У реальних середовищах часто необхідно враховувати і затухання сигналу з часом. Для цього використовують комплексну величину

$n'=n(1-i\kappa )$,

де $\kappa$ — показник поглинання світла у речовині.

У цій формі можна записати хвильове рівняння у речовині (для хвилі, що рухається у напрямку z і поляризована у напрямку x) як

$E_{x}=E_{0}e^{-i\omega (t-{\frac {n'z}{c}})}$.

Таким рівнянням можна користуватись і для опису розповсюдження світла у непрозорих середовищах, наприклад, у металах.

Зв'язок із іншими показниками

Діелектрична проникність

З рівнянь Максвелла можна отримати значення швидкості світла у вакуумі:

$c={\frac {1}{\sqrt {\varepsilon _{0}\mu _{0}}}}$,

де ε₀ — електрична стала, а μ0 — магнітна стала.

У рівняннях Максвелла у матеріальній формі з'являються безрозмірні множники, пов'язані з діелектричною і магнітною проникністю середовища (позначаються літерами ε та μ, відповідно). Вони переходять і у вираз для швидкості світла у середовищі, що записується як:

$v={\frac {1}{\sqrt {\varepsilon \varepsilon _{0}\mu \mu _{0}}}}$

Можна бачити, що

$n={\frac {c}{v}}={\sqrt {\varepsilon \mu }}$

У більшості реальних прозорих речовин магнітна проникність дуже близька до одиниці, тому останню формулу іноді спрощують до $n={\sqrt {\varepsilon }}$.

У випадку кристалів й інших анізотропних середовищ діелектрична проникність залежить від напрямку й тому описується не як скаляр, а як тензор, тому й показник заломлення є тензорною величиною.

Дисперсія

Залежність показника заломлення (червоний) і коефіцієнту поглинання (зелений) у кремнію при 300 К від довжини хвилі

Показник заломлення залежить від частоти світла. Ця залежність називається дисперсією. Зазвичай залежність є дуже нелінійною, і складається з ділянок, де показник заломлення зростає з частотою — цей випадок називається нормальною дисперсією (оскільки така ситуація є типовою), і невеликих ділянок, де показник заломлення стрімко падає, що називається аномальною дисперсією. Ділянки аномальної дисперсії зазвичай розташовані поблизу ліній поглинання речовини.

Багато ліній поглинання розташовані у м'якому рентгенівському діапазоні (K-серія), тому показник заломлення для рентгенівського випромінювання дуже близький до одиниці, і іноді навіть трохи менший за одиницю.

Через сильну залежність від довжини хвилі, для табличних значень показника заломлення має вказуватись, для якої саме частоти вона взята. Зазвичай використовується частота жовтої лінії натрію (5893 Å), у цьому випадку показник заломлення позначається n_D.

Для оцінки дисперсії в оптичному діапазоні використовують такий показник як середня дисперсія, що дорівнює різниці показників заломлення для червоної лінії водню (6563 Å) і синьої лінії водню (4861 Å).

Густина

Загалом, речовини з більшою густиною мають вищий показник заломлення, проте кількісний зв'язок може бути різним для різних класів речовин. Існує кілька емпіричних формул, що дозволяють оцінити цей зв'язок чисельно. Найбільш відомим є рівняння, що виводиться з Формули Лоренца — Лоренца:

${\frac {n^{2}-1}{n^{2}+2}}\cdot {\frac {1}{\rho }}=const$

Вона добре описує гази і речовини, що переходять з одного стану в інший.

Для деяких немагнітних середовищ точнішу оцінку можна отримати за допомогою формули, виведеної Макдональдом:

${\frac {n^{2}-1}{n\cdot \rho }}=const$

Вона краще описує показник заломлення для води, бензену та інших рідин.

Поляризовність

Формула Лоренца — Лоренца пов'язує діелектричну проникність газу, концентрацію частинок і їх поляризовність. У простішому випадку невисокого тиску, показник заломлення можна виразити з неї як

$n={\sqrt {1+2\pi N\alpha }}$,

Де α — поляризовність молекул, а N — концентрація.

Інші величини

Показник заломлення зменшується при збільшенні температури (через зменшення концентрації частинок через термічне розширення). Для рідин, зазвичай, показник заломлення більший, ніж у газів, а у твердих тіл — більший ніж у рідин. З тих самих причин, при збільшенні тиску, показник заломлення зростає.

Показник заломлення змінюється в електричному полі — це явище відоме як ефект Керра (у рідинах і газах) або ефект Покельса (у кристалах). Оскільки сама по собі електромагнітна хвиля також несе змінне електричне поле, показник заломлення може залежати від інтенсивності світла (залежність має вигляд n=n₀(1 + E²), тому стає важливою лише для високих значень інтенсивності).

Особливі випадки

Показник заломлення менший за одиницю

Типовий вигляд графіка залежності показника заломлення від частоти у широкому диапазоні. Різкі падіння пов'язані з інфрачервоною, ультрафіолетовою та рентгенівськими зонами поглинання

Фазова швидкість світла може бути більшою за швидкість світла у вакуумі (це не суперечить СТО, оскільки інформація не може бути передана таким чином), через що показник заломлення може бути менший за одиницю. В оптичному діапазоні n завжди більший за одиницю, проте в ультрафіолетовому, а особливо, у рентгенівському діапазоні така ситуація є типовою.

Висока фазова швидкість рентгенівського випромінювання в речовині зумовлена взаємодією випромінювання й електронних оболонок атомів. Показник заломлення для цього діапазону дуже близький до одиниці, і часто записується як n=1-δ, де δ позитивне і має значення порядку 10⁻⁴..10⁻⁶.

Такі показники заломлення призводять до особливих ефектів, наприклад, увігнуті лінзи для такого випромінювання працюють як опуклі, і навпаки. Оскільки вакуум є більш оптично густим середовищем ніж речовина, рентгенівське випромінювання може зазнавати повного внутрішнього відбиття, при падінні на речовину під малим кутом. Цей ефект застосовують в рентгенівських телескопах.

Негативний показник заломлення

У 1967 році В. Г. Веселаго висловив гіпотезу про існування матеріалів з від'ємним значенням показника заломлення — у таких матеріалів фазова і групова швидкості хвиль мають різний напрям.

В 1999 р. Джон Пендрі з Імперського коледжу в Лондоні запропонував конструкції штучних матеріалів, що мали від'ємні ефективні значення діелектричної і магнітної проникностей.

В 2000 р. Девид Сміт (англ. David R. Smith) з колегами з Каліфорнійського університету в Сан-Дієго, застосував комбінацію елементів конструкцій Джона Пендрі і його рекомендації, щоб експериментально довести можливість реалізації штучних матеріалів з від'ємним значенням показника заломлення.

Такі метаматеріали можуть дозволити подолати дифракційну межу при створенні оптичних систем («суперлінз»), що дозволить підвищити роздільну здатність мікроскопів, створити мікросхеми наномасштабу, підвищити щільність запису на оптичні носії інформації.

Похідні величини

В різних галузях фізики використовуються такі похідні від показника заломлення:

• Питома рефракція:

$r={\frac {n^{2}-1}{n^{2}+2}}\cdot {\frac {1}{\rho }}$

де ρ — густина

• Молекулярна рефракція:

$K={\frac {4}{3}}\pi N\alpha ={\frac {n^{2}-1}{n^{2}+2}}\cdot {\frac {M}{\rho }}$,

де М — молекулярна маса. Іноді використовується у формулі Лоренца-Лоренца, описаній вище.

• Рефрактометрична різниця, або інтерцепт рефракції

$RI=n-{\frac {\rho }{2}}$

Ця величина застосовується в нафтохімії, оскільки однакова для вуглеводнів одного гомологічного ряду.

Значення показника заломлення для деяких речовин

Речовина	nD за нормальних умов
Вакуум	1 (точне значення)
Гелій	1.000036
Повітря	1.0002926
Вуглекислий газ	1.00045
Дисилан	1.0016574
Аерогель	1.02
Лід	1.31
Вода	1.332986
Ацетон	1.36
Етанол	1.36
Тефлон	1.35 — 1.38
Кухонна сіль	1.516
Поліетилен	1.5750
Скло	1.485 — 1.925
Алмаз	2.419

Деякі напівпровідники, непрозорі у видимому світлі, пропускають інфрачервоне випромінювання. Показники заломлювання у цьому діапазоні є значними: 3,927 для арсеніду галію і 4,01 для кремнію

Наразі, найбільший показник заломлення у вузькому діапазоні має сконструйований у 2011 році метаматеріал. Для частот поблизу 0.3 ТГц його показник заломлення досягає 38,6.

Рекордний від'ємний показник заломлення (-700) досягнуто у радіодіапазоні.

Варто зазначити, що значення показника заломлення може сильно відрізнятися для кристалів, тонких плівок і наночастинок однієї і тої самої речовини.

Історія

Першим з європейців, хто зайнявся проблемою заломлення був Архімед. Досліджуючи заломлення на границі між водою і повітрям, він правильно описав кілька законів заломлення і зору (наприклад, те що падаючий і заломлений промінь знаходяться у одній площині, а очі сприймають зображення так, ніби всі промені завжди розповсюджуються по прямій). Також він встановив, що кут заломлення завжди менший за кут падіння (якщо промінь йде з повітря у воду).

Через 100 років після Архімеда, питанням рефракції зайнявся інший видатний античний вчений, Птолемей. Він виміряв кути заломлення при переході світла між повітрям і водою, повітрям і склом, водою і склом. Він намагався знайти залежність між ними, проте думав, що така залежність має вигляд квадратичної функції, тому виведене ним рівняння лише наближено описувало закони заломлення. Втім, це було перше математичне рівняння для цього процесу. У формулі Птолемея був присутній аналог показника заломлення — число, що залежало від пари середовищ, і яке визначало залежність кута падіння від кута відбивання. Птолемей пов'язував сильніше заломлення з різницею густин середовищ. Також він, аналізуючи видимий рух зірок, зробив правильне припущення, що світло зазнає заломлення при переході в атмосферу з навколишнього простору, подібно заломленню при переході з повітря в воду (а отже, що оптичною густиною повітря відрізняється від порожнечі), проте не зміг виміряти це явище кількісно.

Правильно сформулювати закон заломлення вперше зміг перський вчений Ібн Сахл у 984 році. На жаль, його роботи не стали відомими, тому зараз цей закон відомий як закон Снеліуса, на честь Вілеброрда Снеліуса, який відкрив його у 1621 році.

На початку 18 століття показники заломлення багатьох речовин були виміряні Ісааком Ньютоном і Френсісом Хоксбі.

Термін «показник заломлення» (англ. index of refraction) вперше використав Томас Юнг у 1807.

Див. також

• Формули Френеля
• Закон Снеліуса
• Оптичні матеріали

Література

• Романюк М. О., Крочук А. С., Пашук І. П. Оптика. — Л. : ЛНУ ім. Івана Франка, 2012. — 564 с.
• Сивухин Д.В. Электричество // Общий курс физики. — М. : «Наука», 1977. — Т. 3. — 704 с.
• И.Р. Шен. Принципы нелинейной оптики. — М. : «Наука», 1980. — 558 с.
• В.А. Проскуряков, А.Е. Драбкин. Химия нефти и газа. — Ленинград : «Химия», 1981. — 359 с.

• В.Ф.Барковский, С.М.Горелик, Т.Б.Городенцева. Практикум по физико-химическим методам анализа. — М. : «Высшая школа», 1963. — 349 с.

• Б.В. Иоффе. Рефрактометрические методы химии. — Ленинград : ГХИ, 1983. — 399 с.
• Прохоров О.М. Ааронова — Бома эффект — Длинные линии // Физическая энциклопедия. — М. : «Советская энциклопедия», 1988. — Т. 1. — 703 с.
• Прохоров О.М. Магнитоплазменный — Поинтинга теорема // Физическая энциклопедия. — М. : Научное издательство «Большая российская энциклопедия», 1992. — Т. 3. — 672 с. — ISBN 5-8527-0019-3.
• Прохоров О.М. Поинтинга — Робертсона эффект — Стриммеры // Физическая энциклопедия. — М. : Научное издательство «Большая российская энциклопедия», 1994. — Т. 4. — 704 с. — ISBN 5-8527-0087-8.
• Прохоров О.М. Стробоскопические приборы — Яркость // Физическая энциклопедия. — М. : Научное издательство «Большая российская энциклопедия», 1998. — Т. 5. — 691 с.
• Фейнман Р.Ф., Лейтон Р. Физика сплошных сред // Фейнмановские лекции по физике. — М. : Мир, 1965. — Т. 7. — 286 с.
• Charles Hutton. A Philosophical and Mathematical Dictionary. — London, 1815. — Т. 2. — 628 с.
• William Wolfe. Rays, Waves and Photons. — Iop Publishing Ltd, 2020. — 350 с. — ISBN 978-0-7503-2612-4.