Теорема Жордана

Ілюстрація теореми про Жорданову криву. Жорданова крива (чорним) ділить площину внутрішню (обмежену) область (блакитний) та зовнішню (необмежену) область (рожевий)

У топології, Жорданова крива — це довільна замкнена без самоперетинів крива в площині, інакше відома як проста замкнена крива.

Теорема Жордана стверджує, що кожна Жорданова крива ділить площину на дві області — внутрішню область обмежену кривою і зовнішню, що містить всі ближні і дальні зовнішні точки, причому будь-який шлях, який зв'язує точки з двох регіонів перетне цю криву в якійсь точці.

Хоча твердження теореми здається інтуїтивно очевидним, вимагається багато винахідливості, щоб довести її через елементарні логічні пояснення. Прозоріше доведення покладається на математичні механізми алгебраїчної топології, і веде до узагальнення для вищих вимірів.

Теорема названа на честь Каміля Жордана, який першим довів її.

Необхідні визначення і твердження теореми[ред. | ред. код]

Крива Жордана або проста замкнена крива в площині R² це образ C як ін'єктивного неперервного відображення кола в площині, φ: S¹ → R². Жорданова лука в площині — образ ін'єктивного неперервного відображення замкненого інтервалу.

Інакше, Жорданова крива — це образ неперервного відображення φ: [0,1] → R² такий, що φ(0) = φ(1) і з обмеженням, що φ в [0,1) є ін'єкцією. Перші дві умови кажуть, що C є неперервною замкненою кривою, тоді як останнє вимагає відсутності самоперетинів.

Нехай C буде Жордановою кривою в площині R². Тоді її доповнення, R² \ C, містить рівно дві зв'язні складові. Одна з цих складових є обмеженою множиною (внутрішня область) і інша необмежена (зовнішня область) і крива C є межею кожної зі складових.

Також, доповнення Жорданової луки в площині зв'язне.

Доведення[ред. | ред. код]

Перші відомі доведення теореми Жордана були аналітичними. Лейтзен Брауер узагальнив теорему на вищі розмірності і дав топологічне доведення із застосуванням ідей теорії гомологій. Подане тут доведення використовує редуковані сингулярні гомології і послідовності Маєра — Вієторіса для них.

Доводиться узагальнення для багатовимірних сфер, яке називається також теоремою Жордана — Брауера. Згідно цієї теореми, якщо $S^{n}$ є гіперсферою розмірності n, і $h:S^{k}\to S^{n}$ є вкладенням однієї гіперсфери в іншу (тобто h є гомеоморфізмом на свій образ) то редуковані сингулярні гомології простору $S^{n}\setminus h(S^{k})$ є рівними:

${\tilde {H}}_{i}(S^{n}\setminus h(S^{k}))={\begin{cases}\mathbb {Z} ,&i=n-k+1\\0,&i\neq n-k+1\end{cases}}.$

Оскільки для будь-якого простору X нульова редукована група є рівною $\mathbb {Z} ^{j-1}$ де j є кількістю компонент лінійної зв'язності простору X , із твердження теореми випливає те, що для будь якого вкладення $h:S^{n-1}\to S^{n}$ простір $S^{n}\setminus h(S^{n-1})$ має дві компоненти лінійної зв'язності, а в цьому випадку і дві компоненти зв'язності. Оскільки простір $\mathbb {R} ^{n}$ є гомеоморфним $S^{n}$ без одної точки, то і довільне вкладення $h:S^{n-1}\to R^{n}$ ділить простір $\mathbb {R} ^{n}$ на дві компоненти зв'язності при чому одна є обмеженою, а інша — ні. У випадку $n=2$ кожна жорданова крива є вкладенням $h:S^{1}\to R^{2}$ і з теореми Жордана — Брауера випливає теорема Жордана про криві.

Доведення теореми Жордана — Брауера[ред. | ред. код]

Доведення використовує властивість, що редуковані сингулярні групи простору $S^{n}\setminus h(B^{k})$ (де $B^{k}$ є одиничною кулею розмірності k і $h(B^{k})$ теж є вкладенням) є тривіальними. Це можна довести індукцією по розмірності k. Для k = 0, куля $B^{0}$ є точкою і $S^{n}\setminus h(B^{0})$ є гомеоморфним простору $\mathbb {R} ^{n}.$ Оскільки $\mathbb {R} ^{n}$ є стягуваним простором то всі редуковані сингулярні групи $\mathbb {R} ^{n}$ і тому також $S^{n}\setminus h(B^{0})$ є тривіальними.

Для вищих розмірностей зручніше розглядати замість кулі $B^{k}$ гомеоморфний їй куб $I^{k}=[0,1]^{k}$ тої ж розмірності. Нехай твердження є доведеним для деякого невід'ємного цілого числа k -1. Позначимо $A=S^{n}\setminus h(I^{k-1}\times [0,1/2])$ і $B=S^{n}\setminus h(I^{k-1}\times [1/2,1]).$ Тоді $A\cup B=S^{n}\setminus h(I^{k-1}\times \{1/2\})$ і $A\cap B=S^{n}\setminus h(I^{k}).$ Згідно припущення індукції всі редуковані сингулярні групи $A\cup B=S^{n}\setminus h(I^{k-1}\times \{1/2\})$ є тривіальними. Тому розглядаючи простір $S^{n}\setminus h(I^{k-1}\times \{1/2\})$ і його відкриті підмножини $A,B$ у послідовності Маєра — Вієторіса одержуємо, що усі гомоморфізми ${\tilde {H}}_{i}(S^{n}\setminus h(I^{k}))\to {\tilde {H}}_{i}A\oplus {\tilde {H}}_{i}B$ є ізоморфізмами. За означенням послідовності Маєра — Вієторіса обидві компоненти цього ізоморфізму ${\tilde {H}}_{i}(S^{n}\setminus h(I^{k}))\to {\tilde {H}}_{i}A$ і ${\tilde {H}}_{i}(S^{n}\setminus h(I^{k}))\to {\tilde {H}}_{i}B$ є породженими відображенням вкладення (з точністю до множення на -1). Тому якщо $\alpha$ є циклом у $S^{n}\setminus h(I^{k}),$ що не є границею у цьому просторі, то $\alpha$ також не є границею хоча б у одному із просторів $A,B.$ Якщо вона не є границею у просторі $A$ то можна ввести простори $A_{1}=S^{n}\setminus h(I^{k-1}\times [0,1/4])$ і $B_{1}=S^{n}\setminus h(I^{k-1}\times [1/4,1/2]).$ Тоді $A_{1}\cup B_{1}=S^{n}\setminus h(I^{k-1}\times \{1/4\})$ і $A_{1}\cap B_{1}=A.$ За допомогою аргументів аналогічних до попередніх одержуємо, що $\alpha$ також не є границею хоча б у одному із просторів $A_{1},B_{1}.$ Продовжуючи надалі такий процес одержуємо послідовність вкладених замкнутих інтервалів $I_{m}=\left[{i-1 \over 2^{m}},{i \over 2^{m}}\right],\quad i\in 1,\ldots m$ для яких $\alpha$ не є границею у просторах $S^{n}\setminus h(I^{k-1}\times I_{m})$ . Згідно леми про вкладені відрізки ці інтервали прямують до деякої спільної точки $p\in [0,1].$ Згідно припущення індукції усі редуковані сингулярні гомологічні групи простору $S^{n}\setminus h(I^{k-1}\times \{p\})$ є тривіальними, а тому $\alpha$ є границею, тобто $\alpha =\partial \beta$ для деякого $\beta .$ Але $\beta$ є формальною сумою скінченної кількості сингулярних симплексів із цілими коефіцієнтами. Оскільки і об'єднання скінченної кількості сингулярних симплексів і $h(I^{k-1}\times \{p\})$ є компактними підмножинами сфери, то можна знайти також таке $\varepsilon >0,$ що всі сингулярні симплекси із $\beta$ належать простору $S^{n}\setminus h(I^{k-1}\times [p-\varepsilon ,p+\varepsilon ])$ але тоді і границя $\beta$ тобто $\alpha$ теж належить простору $S^{n}\setminus h(I^{k-1}\times [p-\varepsilon ,p+\varepsilon ])$ . Проте для деякого m інтервал $I_{m}\subset [p-\varepsilon ,p+\varepsilon ]$ . Тоді на $S^{n}\setminus h(I^{k-1}\times I_{m})$ також $\alpha =\partial \beta ,$ що суперечить вибору інтервалу $I.$ Тобто $\alpha$ має бути границею уже в $S^{n}\setminus h(I^{k})$ і тому всі редуковані сингулярні групи цього простору є тривіальними. Це завершує крок індукції і доведення властивості для просторів $S^{n}\setminus h(B^{k})$ .

Для доведення твердження для просторів $S^{n}\setminus h(S^{k})$ теж використовується індукція . Для по розмірності k. Для k = 0, простір $S^{0}$ є двома точками і $S^{n}\setminus h(S^{0})$ є гомеоморфним $S^{n-1}\times \mathbb {R}$ і його редуковані сингулярні групи є рівними групам для гіперсфери $S^{n-1},$ тобто ${\tilde {H}}_{n-1}(S^{n}\setminus h(S^{0}))=\mathbb {Z}$ і всі інші редуковані сингулярні групи є тривіальними. Тобто твердження теореми у цьому випадку є вірним.

Припустимо, що теорема є доведеною для деякого невід'ємного цілого числа k -1. Сферу $S^{k}$ можна подати як об'єднання двох півсфер $S_{+}^{k}$ і $S_{-}^{k}$ (які є гомеоморфними кулі $B^{k}$ ) перетин яких є рівним $S^{k-1}.$ Позначимо $A=S^{n}\setminus h(S_{+}^{k})$ і $B=S^{n}\setminus h(S_{-}^{k}).$ Тоді $A\cup B=S^{n}\setminus h(S^{k-1})$ і $A\cap B=S^{n}\setminus h(S^{k}).$ Також із попереднього всі редуковані сингулярні групи просторів $A,B$ є тривіальними. Підставляючи простори у послідовність Маєра — Вієторіса одержуємо ізоморфізми ${\tilde {H}}_{i}(S^{n}\setminus h(S^{k})\simeq {\tilde {H}}_{i+1}(S^{n}\setminus h(S^{k-1}).$ Але за припущенням індукції ${\tilde {H}}_{n-k+2}(S^{n}\setminus h(S^{k-1})=\mathbb {Z}$ і всі інші редуковані сингулярні групи для $S^{n}\setminus h(S^{k-1})$ є тривіальними. Тому з одержаного ізоморфізму ${\tilde {H}}_{n-k+1}(S^{n}\setminus h(S^{k})=\mathbb {Z}$ і всі інші редуковані сингулярні групи для $S^{n}\setminus h(S^{k})$ є тривіальними, що і треба було довести.