Теорема Жордана

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку
Ілюстрація теореми про Жорданову криву. Жорданова крива (чорним) ділить площину внутрішню (обмежену) область (блакитний) та зовнішню (необмежену) область (рожевий)

У топології, Жорданова крива — це довільна замкнена без самоперетинів крива в площині, інакше відома як проста замкнена крива.

Теорема Жордана стверджує, що кожна Жорданова крива ділить площину на дві області — внутрішню область обмежену кривою і зовнішню, що містить всі ближні і дальні зовнішні точки, причому будь-який шлях, який зв'язує точки з двох регіонів перетне цю криву в якійсь точці.

Хоча твердження теореми здається інтуїтивно очевидним, вимагається багато винахідливості, щоб довести її через елементарні логічні пояснення. Прозоріше доведення покладається на математичні механізми алгебраїчної топології, і веде до узагальнення для вищих вимірів.

Теорема названа на честь Каміля Жордана, який першим довів її.

Необхідні визначення і твердження теореми[ред. | ред. код]

Крива Жордана або проста замкнена крива в площині R2 це образ C як ін'єктивного неперервного відображення кола в площині, φ: S1R2. Жорданова лука в площині — образ ін'єктивного неперервного відображення замкненого інтервалу.

Інакше, Жорданова крива — це образ неперервного відображення φ: [0,1] → R2 такий, що φ(0) = φ(1) і з обмеженням, що φ в [0,1) є ін'єкцією. Перші дві умови кажуть, що C є неперервною замкненою кривою, тоді як останнє вимагає відсутності самоперетинів.

Нехай C буде Жордановою кривою в площині R2. Тоді її доповнення, R2 \ C, містить рівно дві зв'язні складові. Одна з цих складових є обмеженою множиною (внутрішня область) і інша необмежена (зовнішня область) і крива C є межею кожної зі складових.

Також, доповнення Жорданової луки в площині зв'язне.

Доведення[ред. | ред. код]

Перші відомі доведення теореми Жордана були аналітичними. Лейтзен Брауер узагальнив теорему на вищі розмірності і дав топологічне доведення із застосуванням ідей теорії гомологій. Подане тут доведення використовує редуковані сингулярні гомології і послідовності Маєра — Вієторіса для них.

Доводиться узагальнення для багатовимірних сфер, яке називається також теоремою Жордана — Брауера. Згідно цієї теореми, якщо є гіперсферою розмірності n, і є вкладенням однієї гіперсфери в іншу (тобто h є гомеоморфізмом на свій образ) то редуковані сингулярні гомології простору є рівними:

Оскільки для будь-якого простору X нульова редукована група є рівною де j є кількістю компонент лінійної зв'язності простору X , із твердження теореми випливає те, що для будь якого вкладення простір має дві компоненти лінійної зв'язності, а в цьому випадку і дві компоненти зв'язності. Оскільки простір є гомеоморфним без одної точки, то і довільне вкладення ділить простір на дві компоненти зв'язності при чому одна є обмеженою, а інша — ні. У випадку кожна жорданова крива є вкладенням і з теореми Жордана — Брауера випливає теорема Жордана про криві.

Доведення теореми Жордана — Брауера[ред. | ред. код]

Доведення використовує властивість, що редуковані сингулярні групи простору (де є одиничною кулею розмірності k і теж є вкладенням) є тривіальними. Це можна довести індукцією по розмірності k. Для k = 0, куля є точкою і є гомеоморфним простору Оскільки є стягуваним простором то всі редуковані сингулярні групи і тому також є тривіальними.

Для вищих розмірностей зручніше розглядати замість кулі гомеоморфний їй куб тої ж розмірності. Нехай твердження є доведеним для деякого невід'ємного цілого числа k -1. Позначимо і Тоді і Згідно припущення індукції всі редуковані сингулярні групи є тривіальними. Тому розглядаючи простір і його відкриті підмножини у послідовності Маєра — Вієторіса одержуємо, що усі гомоморфізми є ізоморфізмами. За означенням послідовності Маєра — Вієторіса обидві компоненти цього ізоморфізму і є породженими відображенням вкладення (з точністю до множення на -1). Тому якщо є циклом у що не є границею у цьому просторі, то також не є границею хоча б у одному із просторів Якщо вона не є границею у просторі то можна ввести простори і Тоді і За допомогою аргументів аналогічних до попередніх одержуємо, що також не є границею хоча б у одному із просторів Продовжуючи надалі такий процес одержуємо послідовність вкладених замкнутих інтервалів для яких не є границею у просторах. Згідно леми про вкладені відрізки ці інтервали прямують до деякої спільної точки Згідно припущення індукції усі редуковані сингулярні гомологічні групи простору є тривіальними, а тому є границею, тобто для деякого Але є формальною сумою скінченної кількості сингулярних симплексів із цілими коефіцієнтами. Оскільки і об'єднання скінченної кількості сингулярних симплексів і є компактними підмножинами сфери, то можна знайти також таке що всі сингулярні симплекси із належать простору але тоді і границя тобто теж належить простору . Проте для деякого m інтервал . Тоді на також що суперечить вибору інтервалу Тобто має бути границею уже в і тому всі редуковані сингулярні групи цього простору є тривіальними. Це завершує крок індукції і доведення властивості для просторів .

Для доведення твердження для просторів теж використовується індукція . Для по розмірності k. Для k = 0, простір є двома точками і є гомеоморфним і його редуковані сингулярні групи є рівними групам для гіперсфери тобто і всі інші редуковані сингулярні групи є тривіальними. Тобто твердження теореми у цьому випадку є вірним.

Припустимо, що теорема є доведеною для деякого невід'ємного цілого числа k -1. Сферу можна подати як об'єднання двох півсфер і (які є гомеоморфними кулі ) перетин яких є рівним Позначимо і Тоді і Також із попереднього всі редуковані сингулярні групи просторів є тривіальними. Підставляючи простори у послідовність Маєра — Вієторіса одержуємо ізоморфізми Але за припущенням індукції і всі інші редуковані сингулярні групи для є тривіальними. Тому з одержаного ізоморфізму і всі інші редуковані сингулярні групи для є тривіальними, що і треба було довести.

Див. також[ред. | ред. код]

Посилання[ред. | ред. код]

  • M.I. Voitsekhovskii (2001), Теорема Жордана, у Hazewinkel, Michiel (ред.), Математична енциклопедія, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4  (англ.)
  • Повне, в 6,500 рядків, формальне доведення теореми Жордана на Mizar (англ.)
  • Підбірка доведень теореми Жордана (англ.)
  • Просте доведення теореми Жордана (PDF)(англ.)