Евклідове кільце

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

В абстрактній алгебрі евклідове кільце — кільце, в якому існує аналог алгоритму Евкліда.

Визначення[ред.ред. код]

Евклідове кільцеобласть цілісності R, для якої визначена евклідова функція (евклідова норма) , причому , і можливе ділення з остачею, по нормі меншою ніж дільник, тобто для будь-яких є представлення , для якого .

Примітка[ред.ред. код]

Часто на евклідову норму накладають додаткове обмеження: для будь-яких a та ненульових b з кільця R. Якщо на R задана норма, що не задовольняє цій вимозі, її можна поправити, перевизначивши:

Така норма задовольняє потрібну нерівність, однак дотеперішній алгоритм ділення з остачею також треба поправити. Нехай такий, що . Розділимо з остачею ax на bx: , де і . Тому що з визначення , ми отримали представлення з , що і вимагалось.

Тим не менш переваг від такої норми не так багато — всі оборотні елементи мають одне й те саме значення норми, при чому мінімальне з усіх (скінченних), власні дільники (що відрізняються від самого числа) елемента a мають менше значення норми, а також спрощується безпосереднє доведення факторіальності евклідових кілець (без посилання на факторіальність кілець головних ідеалів, доведення чого вимагає застосування трансфінітної індукції). Основні властивості евклідових кілець залишаються в силі і без цієї додаткової властивості.

Приклади[ред.ред. код]

  • Кільце цілих чисел . Приклад евклідової функції — абсолютна величина .
  • Кільце цілих гаусових чисел Z[i] (де i — уявна одиниця, ) з нормою — евклідове.
  • Довільне поле є евклідовим кільцем з нормою, що дорівнює 1 для всіх елементів, окрім 0.
  • Кільце многочленів від однієї змінної над полем . Приклад евклідової функції — піднесення до степеня, deg.
  • Кільце формальних степеневих рядів над полем K є евклідовим кільцем. Норма степеневого ряду — номер першого ненульового коефіцієнта в ньому (для нульового ряду норма дорівнює мінус нескінченності).
  • Узагальнюючи попередній приклад, кожне локальне кільце є евклідовим, якщо в ньому максимальний ідеал є головним і перетин всіх його степенів складається тільки з нуля. Норма оборотного елемента — 0, необоротного ненульового дорівнює максимальної степені максимального ідеалу, що містить даний елемент, а норма нуля — мінус безкінечність.
  • Кільце функцій H(K), голоморфних на зв'язному компакті K в C (кожна з яких має бути голоморфною в в будь-якому околі цього компакту; дві такі функції вважаються рівними в H(K), якщо вони рівні в деякому околі K), також евклідове. За норму ненульової функції приймається число нулів (з урахуванням кратності), які вона приймає на K.
  • Зліченний перетин евклідових кілець (підкілець в якому-небудь кільці) не зобов'язаний бути евклідовим кільцем і навіть нетеровим або факторіальним). Наприклад, кільце функцій H(D), голоморфних у відкритому колі D, є перетин евклідових кілець функцій H(K), голоморфних на замкнутих колах K, що містяться всередині D (див. попередній приклад), однак воно ані нетерове, ані факторіальне, відповідно, неевклідове.
  • Кільце часток S-1R евклідового кільця R по мультиплікативній системі S також є евклідовим. Нормою дробу x з S-1R приймається
, де — евклідова норма в R, а — норма в S-1R.
Ділення з остачею визначається так. Нехай є два ненульових дроби і з S-1R. За визначенням норми в S-1R існують елементи u в R і s в S, такі що і . Вчинимо ділення з остачею в кільці R елементів rs і u:
rs = uq + r', так що . Тоді . З побудови випливають нерівності .
  • Евклідовим є кільце скінченних десяткових дробів, через те, що вони є кільцем часток кільця цілих чисел .
  • Евклідовими є кільця раціональних функцій над полем C з фіксованими полюсами, через те, що такі кільця є кільцями часток кільця многочленів C[x].


Алгоритм Евкліда[ред.ред. код]

В евклідовому кільці здійсненний алгоритм Евкліда знаходження найбільшого спільного дільника двох чисел (елементів). Нехай початково дані два елементи a0 і a1, при чому і . Ділення з остачею дає елемент с . Якщо він не рівний нулю, можна знов застосувати ділення з остачею, і отримати елемент , і т. д. Таким чином генерується ланцюжок значень з . Однак цей ланцюжок переривається, позаяк кожне число з може строго перевищувати тільки скінченну кількість інших таких чисел. Це означає, що при деякому n остача an+1 дорівнює нулю, а an не дорівнює, вона і є НСД елементів a0 і a1. Відповідно, в евклідовому кільці гарантовано завершення алгоритму Евкліда. Строго кажучи, саме в евклідових кільцях і можлива реалізація алгоритму Евкліда.

Властивості евклідових кілець[ред.ред. код]

  • В евклідовому кільці кожний ідеал — головний (зокрема, всі евклідові кільця нетерові).
    • Нехай I — довільний ідеал в евклідовому кільці. Якщо він містить лише нуль, — він головний. В протилежному випадку серед його ненульових елементів знайдеться елемент f з мінімальною нормою (принцип мінімуму для натуральних чисел). Він поділяє всі інші елементи ідеалу: Якщо g — довільний елемент ідеалу I, запишемо його у вигляді g = fq + r з d(r)<d(f). Тоді r — також елемент ідеалу I і він забов'язаний бути нулем, через те, що його норма менша ніж у f. Відповідно, ідеал I міститься в ідеалі (f). З іншого боку, кожен ідеал, що містить елемент f, містить ідеал (f). Отже, I = (f) — головний ідеал.
  • Кожне евклідове кільце факторіальне, тобто кожний елемент можна представити скінченним добутком простих елементів, і при цьому однозначно (з точністю до їх перестановки і множення на оборотні елементи). Факторіальність — загальна властивість усіх кілець головних ідеалів.
  • Кожне евклідове кільце R цілозамкнене, тобто якщо дріб ,є коренем многочлена зі старшим коефіцієнтом, що дорівнює 1, тоді ділиться на . Цілозамкненість — загальна властивість всіх факторіальних кілець.

Властивості модулів над евклідовим кільцем[ред.ред. код]

Нехай R — евклідове кільце. Тоді скінченнопорджені R-модулі характеризуються такими властивостями:

  • Кожен підмодуль N скінченнопородженого R-модуля M скінченнопороджений. (наслідок нетеровості кільця R)
  • Ранг підмодуля N не перевищує рангу модуля M. (наслідок того, що ідеали в R головні)
  • Підмодуль вільного R-модуля вільний.
  • Гомоморфізм скінченнопороджених R-модулів завжди зводиться до нормальної форми. Тобто існують твірні (базис, якщо модуль вільний) модуля N, твірні (базис) модуля M, номер і — елементи кільця R, такі що ділить та при i>k , а при інших — . При цьому коефіцієнти визначені однозначно з точністю до множення но оборотні елементи кільця R. (Тут прямо задіяна евклідовість кільця R.)

Див. також[ред.ред. код]

Посилання[ред.ред. код]