У комутативній алгебрі , нормою ідеалу називається узагальнення норми елемента у скінченному розширенні поля . Дане поняття є дуже важливим зокрема у теорії чисел оскільки він визначає розмір ідеалів складних кілець чисел за допомогою ідеалів менш складних кілець. У випадку коли цим менш складним кільцем є кільце цілих чисел Z , норма ненульового ідеалу I числового кільця R є рівною кількості елементів скінченного факторкільця R /I .
Нехай A — кільце Дедекінда з полем часток K і B — ціле замикання в скінченному сепарабельному розширенні L поля K (у цьому випадку B також є кільцем Дедекінда). Нехай
I
A
{\displaystyle {\mathcal {I}}_{A}}
I
B
{\displaystyle {\mathcal {I}}_{B}}
дробових ідеалів кілець A і B , відповідно. Тоді відображенням норми за означенням є єдиний гомоморфізм груп
N
B
/
A
:
I
B
→
I
A
{\displaystyle N_{B/A}\colon {\mathcal {I}}_{B}\to {\mathcal {I}}_{A}}
що задовольняє
N
B
/
A
(
q
)
=
p
[
B
/
q
:
A
/
p
]
{\displaystyle N_{B/A}({\mathfrak {q}})={\mathfrak {p}}^{[B/{\mathfrak {q}}:A/{\mathfrak {p}}]}}
для всіх ненульових простих ідеалів
q
{\displaystyle {\mathfrak {q}}}
B , де
p
=
q
∩
A
{\displaystyle {\mathfrak {p}}={\mathfrak {q}}\cap A}
A і B є кільцями Дедекінда то всі їх прості ідеали є максимальними і тому
B
/
q
{\displaystyle B/{\mathfrak {q}}}
A
/
p
{\displaystyle A/{\mathfrak {p}}}
Еквівалентно, для будь-якого
b
∈
I
B
{\displaystyle {\mathfrak {b}}\in {\mathcal {I}}_{B}}
N
B
/
A
(
b
)
{\displaystyle N_{B/A}({\mathfrak {b}})}
A породженим множиною
{
N
L
/
K
(
x
)
|
x
∈
b
}
{\displaystyle \{N_{L/K}(x)|x\in {\mathfrak {b}}\}}
b
{\displaystyle {\mathfrak {b}}}
Для
a
∈
I
A
{\displaystyle {\mathfrak {a}}\in {\mathcal {I}}_{A}}
N
B
/
A
(
a
B
)
=
a
n
{\displaystyle N_{B/A}({\mathfrak {a}}B)={\mathfrak {a}}^{n}}
n
=
[
L
:
K
]
{\displaystyle n=[L:K]}
головного ідеалу є рівною нормі відповідного елемента :
N
B
/
A
(
x
B
)
=
N
L
/
K
(
x
)
A
.
{\displaystyle N_{B/A}(xB)=N_{L/K}(x)A.}
Нехай
L
/
K
{\displaystyle L/K}
розширення Галуа числового поля з кільцем цілих чисел
O
K
⊂
O
L
{\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}\subset {\mathcal {O}}_{L}}
A
=
O
K
,
B
=
O
L
{\displaystyle A={\mathcal {O}}_{K},B={\mathcal {O}}_{L}}
b
∈
I
O
L
{\displaystyle {\mathfrak {b}}\in {\mathcal {I}}_{{\mathcal {O}}_{L}}}
N
O
L
/
O
K
(
b
)
=
O
K
∩
∏
σ
∈
Gal
(
L
/
K
)
σ
(
b
)
,
{\displaystyle N_{{\mathcal {O}}_{L}/{\mathcal {O}}_{K}}({\mathfrak {b}})={\mathcal {O}}_{K}\cap \prod _{\sigma \in \operatorname {Gal} (L/K)}\sigma ({\mathfrak {b}}),}
що є елементом
I
O
K
{\displaystyle {\mathcal {I}}_{{\mathcal {O}}_{K}}}
N
O
L
/
O
K
{\displaystyle N_{{\mathcal {O}}_{L}/{\mathcal {O}}_{K}}}
N
L
/
K
{\displaystyle N_{L/K}}
У випадку
K
=
Q
{\displaystyle K=\mathbb {Q} }
додатними раціональними числами як множиною значень для
N
O
L
/
Z
{\displaystyle N_{{\mathcal {O}}_{L}/\mathbb {Z} }\,}
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} }
групу класів ідеалів і групу оборотних елементів
{
±
1
}
{\displaystyle \{\pm 1\}}
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} }
Нехай
L
{\displaystyle L}
числове поле з кільцем цілих чисел
O
L
{\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}}
a
{\displaystyle {\mathfrak {a}}}
O
L
{\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}}
a
{\displaystyle {\mathfrak {a}}}
N
(
a
)
:=
[
O
L
:
a
]
=
|
O
L
/
a
|
.
{\displaystyle N({\mathfrak {a}}):=\left[{\mathcal {O}}_{L}:{\mathfrak {a}}\right]=\left|{\mathcal {O}}_{L}/{\mathfrak {a}}\right|.\,}
Норма нульового ідеалу вважається рівною нулю.
Якщо
a
=
(
a
)
{\displaystyle {\mathfrak {a}}=(a)}
N
(
a
)
=
|
N
L
/
Q
(
a
)
|
{\displaystyle N({\mathfrak {a}})=\left|N_{L/\mathbb {Q} }(a)\right|}
Норма є цілком мультиплікативною: якщо
a
{\displaystyle {\mathfrak {a}}}
b
{\displaystyle {\mathfrak {b}}}
O
L
{\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}}
N
(
a
⋅
b
)
=
N
(
a
)
N
(
b
)
{\displaystyle N({\mathfrak {a}}\cdot {\mathfrak {b}})=N({\mathfrak {a}})N({\mathfrak {b}})}
N
:
I
O
L
→
Q
>
0
×
,
{\displaystyle N\colon {\mathcal {I}}_{{\mathcal {O}}_{L}}\to \mathbb {Q} _{>0}^{\times },}
заданого для всіх ненульових дробових ідеалів кільця
O
L
{\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}}
Норма ідеалу
a
{\displaystyle {\mathfrak {a}}}
a
∈
a
{\displaystyle a\in {\mathfrak {a}}}
|
N
L
/
Q
(
a
)
|
≤
(
2
π
)
s
|
D
L
|
N
(
a
)
,
{\displaystyle \left|N_{L/\mathbb {Q} }(a)\right|\leq \left({\frac {2}{\pi }}\right)^{s}{\sqrt {\left|D_{L}\right|}}N({\mathfrak {a}}),}
де
D
L
{\displaystyle D_{L}}
дискримінант числового поля
L
{\displaystyle L}
s
{\displaystyle s}
L
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
Janusz, Gerald J. (1996), Algebraic number fields , Graduate Studies in Mathematics, т. 7 (вид. second), Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, ISBN 0-8218-0429-4 MR 1362545 Marcus, Daniel A. (1977), Number fields , Universitext, New York: Springer-Verlag, ISBN 0-387-90279-1 MR 0457396 Neukirch, Jurgen (1999), Algebraic number theory , Berlin: Springer-Verlag, ISBN 3-540-65399-6 MR 1697859 Serre, Jean-Pierre (1979), Local Fields , Graduate Texts in Mathematics, т. 67, New York: Springer-Verlag, ISBN 0-387-90424-7 MR 0554237 
![{\displaystyle N_{B/A}({\mathfrak {q}})={\mathfrak {p}}^{[B/{\mathfrak {q}}:A/{\mathfrak {p}}]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3393cf49606044e636ccd0024f72a1cf4cc2f18)
![{\displaystyle n=[L:K]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96b81d44ad43163032e8c59bf674878b85d0e19b)
![{\displaystyle N({\mathfrak {a}}):=\left[{\mathcal {O}}_{L}:{\mathfrak {a}}\right]=\left|{\mathcal {O}}_{L}/{\mathfrak {a}}\right|.\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa96449b00cca034de1b256dfbeefd2212abe6a1)
