Взаємна коваріація

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Версія від 12:13, 27 листопада 2021, створена Olexa Riznyk (обговорення | внесок) (оформлення)
Перейти до навігації Перейти до пошуку

У теорії ймовірностей та статистиці для заданих двох стохастичних процесів та , взає́мна коваріа́ція (англ. cross-covariance) — це функція, яка дає коваріацію одного процесу з іншим у пари моментів часу. За звичайного позначення для оператора математичного сподівання, якщо процеси мають функції середнього значення та , то перехресну коваріацію задають як

Взаємна коваріація пов'язана із ширше вживаною взаємною кореляцією процесів, про які йде мова.

У випадку двох випадкових векторів та взаємною коваріацією буде матриця розміру (яку часто позначують через ) з елементами Таким чином, термін взаємна коваріація використовують для того, щоб відрізняти це поняття від коваріації випадкового вектора , яку розуміють як матрицю коваріацій між скалярними складовими самого .

В обробці сигналів взаємну коваріацію часто називають взаємною кореляцією, й вона є мірою подібності двох сигналів, яку зазвичай використовують для пошуку ознак (англ. features) у невідомому сигналі шляхом порівняння його з відомим. Вона є функцією відносного часу між сигналами, іноді носить назву ковзного скалярного добутку (англ. sliding dot product), й має застосування в розпізнаванні образів та криптоаналізі .

Взаємна коваріація випадкових векторів

Взаємна коваріація стохастичних процесів

Визначення взаємної коваріації випадкових векторів можна узагальнити на випадкові процеси наступним чином:

Визначення

Нехай та позначують випадкові процеси. Тоді взаємну коваріаційну функцію цих процесів визначають як[1]:с.172

 

 

 

 

(1)

де , а .

Якщо ці процеси є комплекснозначними випадковими процесами, то другий множник потребує комплексного спряження:

Визначення для спільно СШС процесів

Якщо та є спільно стаціонарними в широкому сенсі[en], то справедливим є наступне:

для всіх ,
для всіх

і

для всіх

Поклавши (запізнювання в часі, англ. time lag, або кількість часу, на яку було зміщено сигнал), ми можемо визначити

.

Таким чином, взаємна коваріаційна функція двох спільно СШС процесів задається як

 

 

 

 

(2)

що рівнозначне

.

Некорельованість

Два стохастичні процеси та називають некорельо́ваними (англ. uncorrelated), якщо їхня коваріація є нульовою для всіх моментів часу.[1]:с.142 Формально:

некорельовані .

Взаємна коваріація детермінованих сигналів

Взаємна коваріація також важлива в обробці сигналів, де взаємну коваріацію між двома стаціонарними в широкому сенсі випадковими процесами можливо оцінювати шляхом усереднювання добутку зразків, виміряних за одним процесом, і зразків, виміряних за іншим (та його зсувами в часі). Зразки, включені до усереднювання, можуть бути довільною підмножиною всіх зразків у сигналі (наприклад, зразки в межах скінченного часового вікна, або підвибірка одного з сигналів). За великої кількості зразків це усереднення збігається до істинної коваріації.

Під взаємною коваріацією також можуть мати на увазі «детерміно́вану» взає́мну коваріа́цію (англ. "deterministic" cross-covariance) між двома сигналами. Вона складається з підсумовування над усіма часовими індексами. Наприклад, для дискретночасових[en] сигналів та взаємну коваріацію визначають як

де лінія вказує на взяття комплексного спряження, коли сигнали комплекснозначні.

Для неперервних функцій та (детерміновану) взаємну коваріацію визначають як

.

Властивості

(Детермінована) взаємна коваріація двох неперервних сигналів пов'язана зі згорткою через

а (детермінована) взаємна коваріація двох дискретночасових сигналів пов'язана з дискретною згорткою[en] через

.

Див. також

Примітки

  1. а б Kun Il Park, Fundamentals of Probability and Stochastic Processes with Applications to Communications, Springer, 2018, 978-3-319-68074-3 (англ.)

Посилання