Редуковане кільце

У абстрактній алгебрі редукованим називається кільце в якому немає ненульових нільпотентних елементів. Дане поняття є важливим у алгебричній геометрії де на його основі також вводиться поняття редукованої схеми.

Означення

Нехай $R$ — кільце. Воно називається редукованим якщо для кожного $r\in R$

$r^{n}=0\Leftrightarrow r=0$

Для комутативних кілець еквівалентно можна сказати, що кільце є редукованим, якщо його нільрадикал є нульовим ідеалом:

${\sqrt {(0)}}=(0)$

• Еквівалентно, кільце є редукованим якщо для всіх $r\in R$:

$r^{2}=0\Leftrightarrow r=0$

Приклади

• Кільце цілих чисел $\mathbb {Z}$ і кільце многочленів над будь-яким полем є редукованими.
• Більш загально будь-яка область цілісносні є редукованим кільцем.
• Для будь-якого комутативного кільця R, кільце $R/{\sqrt {(0)}}$ є редукованим. Більш загально кільце $R/I$ є редукованим тоді і тільки тоді, коли ідеал I є радикальним, тобто $I={\sqrt {I}}$.
• Кільце $\mathbb {Z} /4$ містить ненульовий нільпотентний елемент $2$ і тому не є редукованим. Натомість кільце $\mathbb {Z} /6$ є редукованим і є прикладом редукованого комутативного кільце, що не є областю цілісності. В загальному випадку $\mathbb {Z} /n$ є редукованим тоді і тільки тоді, коли n = 0 або n є натуральним числом вільним від квадратів.
• Кільце $K[X]/(X^{2})$ не є редукованим, оскільки ненульовий елемент $X$ є нільпотентним.
• Кільця матриць над будь-яким кільцем не є редукованими. Наприклад для матриць порядку 2 над будь-яким кільцем з одиницею $\left({\begin{matrix}0&1\\0&0\end{matrix}}\right)\cdot \left({\begin{matrix}0&1\\0&0\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}0&0\\0&0\end{matrix}}\right).$
• Комутативне кільце R характеристики p є редукованим тоді і тільки тоді, коли його ендоморфізм Фробеніуса є ін'єктивним.

Властивості

• Будь-яке редуковане кільце є напівпростим (тобто з того, що J^k = {0} для деякого ідеалу J випливає, що J = {0}). Для комутативних кілець поняття редукованості і напівпростоти є еквівалентними. Натомість існують некомутативні кільця що є напівпростими але не редукованими.

Зокрема, як описано в прикладах, кільце квадратних матриць над будь яким кільцем не є редукованим. Натомість двосторонні ідеали кільця $M_{n}(R)$ мають вид $M_{n}(I),$ де I — двосторонній ідеал кільця R, а тому якщо $M_{n}(I)M_{n}(I)=0$ то і II = 0. У випадку напівпростого кільця звідси I = 0 і тому $M_{n}(I)=0.$ Тобто кільця квадратних матриць над напівпростими кільцями є напівпростими але не редукованими.

• Підкільця, добутки, локалізації (у комутативному випадку) редукованих кілець є редукованими кільцями.

У випадку локалізації за мультиплікативною множиною S ненульовий елемент r/s де $r\in R,\;s\in S$ буде нільпотентним тоді і тільки тоді коли $tr^{n}=0$ для деяких $t\in S,\;n\in \mathbb {N} .$ Але тоді tr є нільпотентним елементом у R. До того ж tr не є нульовим оскільки тоді б r/s був нульовим елементом у локалізації.

• Якщо всі локалізації за максимальними ідеалами комутативного кільця R є редукованими, то R теж є редукованим.

Припустимо x є ненульовим елементом в R і xⁿ=0. Анігілятор ann(x) міститься в деякому максимальному ідеалі ${\mathfrak {m}}$. Образ елемента x є ненульовим в локалізації кільця R за ідеалом ${\mathfrak {m}}$ оскільки в іншому випадку $xs=0$ для деякого $s\not \in {\mathfrak {m}}$ і $s$ належить анігілятору x, всупереч означенню ${\mathfrak {m}}$. Тому локалізація R за ${\mathfrak {m}}$ не є редукованим кільцем.

• Множина D дільників нуля у комутативному редукованому кільці є рівною об'єднанню мінімальних простих ідеалів.

Нехай ${\mathfrak {p}}_{i}$ — множина (можливо порожня) мінімальних простих ідеалів.

$D\subset \cup {\mathfrak {p}}_{i}:$ Нехай x є дільником нуля тобто xy = 0 для деякого ненульового y. Оскільки R є редукованим, то (0) є перетином усіх ${\mathfrak {p}}_{i}$ і тому y не належить деякому ${\mathfrak {p}}_{j}$. Оскільки натомість xy належить усім ${\mathfrak {p}}_{i}$ то x є елементом ${\mathfrak {p}}_{j}$.

$D\supset {\mathfrak {p}}_{i}:$ Нехай $S=\{xy|x\in R-D,y\in R-{\mathfrak {p}}\}$. S є мультиплікативною множиною і тому можна розглянути локалізацію $R\to R[S^{-1}]$. Позначимо ${\mathfrak {q}}$ прообраз максимального ідеалу. Тоді ${\mathfrak {q}}$ є підмножиною D і ${\mathfrak {p}}_{i}$ і з мінімальності ${\mathfrak {q}}={\mathfrak {p}}_{i}$.

• Для загального (не обов'язково комутативного) редукованого кільця R будь-який мінімальний простий ідеал I є сильно простим, тобто R/I є цілісним кільцем.
• Кільце R є редукованим, тоді і тільки тоді, коли воно є підпрямим добутком кілець цілісності, тобто воно є ізоморфним деякому підкільцю прямого добутку кілець $R_{\lambda },\;\lambda \in \Lambda$ для якого усі проєкції на $R_{\lambda }$ є сюр'єктивними.

Редукована схема

Схема $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ називається редукованою, якщо для кожної відкритої множини $U\subset X$ кільце ${\mathcal {O}}_{X}(U)$ є редукованим. Еквівалентно якщо для кожної точки $x\in X$ локальне кільце

${\mathcal {O}}_{X,x}=\operatorname {lim} _{V\ni x}{\mathcal {F}}(V)$

є редукованим.

Якщо всі локальні кільця X є редукованими і для елемента $f\in {\mathcal {O}}_{X}(U)$ виконується рівність $f^{n}=0,$ то образ $f^{n}$ у ${\mathcal {O}}_{U,u}$ є рівним нулю для всіх $u\in U$ і тому $f$ теж є рівним нулю у всіх цих кільцях. З означення схеми звідси випливає, що $f=0.$

Навпаки, якщо ${\mathcal {O}}_{X}(U)$ є редукованим для всіх відкритих підмножин $U$ і ненульового $f\in {\mathcal {O}}_{X,x}$ то для будь-якого представника $(U,{\bar {f}}\in {\mathcal {O}}(U))$ елемента $f$ з означення локального кільця, елемент ${\bar {f}}$ є ненульовим і тому не є нільпотентним. Звідси $f$ теж не є нільпотентним у ${\mathcal {O}}_{X,x}.$ Звідси випливає еквівалентність двох означень редуковності схем.

Зокрема афінна схема $X=\operatorname {Spec} (R)$ є редукованою тоді і тільки тоді коли кільце R є редукованим.

Див. також

• Нільрадикал
• Нормальне кільце
• Область цілісності

Література

• Kaplansky, Irving (1974). Commutative Rings. Lectures in Mathematics. University of Chicago Press. ISBN 0-226-42454-5.
• Lam, Tsit-Yuen (2001), A First Course in Noncommutative Rings (вид. 2nd), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95325-0, MR1838439
• Matsumura, Hideyuki (1989). Commutative Ring Theory. Cambridge Studies in Advanced Mathematics (вид. 2nd). Cambridge University Press. ISBN 0-521-36764-6.