Зоногон: відмінності між версіями

Інтерактивний перегляд історії

[перевірена версія]

Наступне редагування →

Вилучено вміст Додано вміст

ВізуальнийВікірозмітка

Лінійно

Версія за 21:27, 23 грудня 2020

Приклад зоногона з вісьмома сторонами. Праворуч у ньому проведено діагоналі, які з'єднують симетричні відносно центру вершини.

Зоногон — центрально-симетричний опуклий багатокутник.

Еквівалентні визначення

Зоногон — опуклий багатокутник з парною кількістю сторін, які можна розбити на пари рівних і паралельних. Насправді, достатньо вимагати істинність обох умов для всіх пар сторін, крім однієї — для неї умова вже буде наслідком, що неважко довести за індукцією за кількістю сторін багатокутника. Однак пара сторін, паралельність і рівність яких не постулюється, обов'язково повинна бути однією і тією ж для обох умов, інакше багатокутник вже не обов'язково буде зоногоном: приклад багатокутника, який не є зоногоном, у якому протилежні сторони лише однієї пари не паралельні і протилежні сторони лише однієї пари не рівні, зображений на рисунку.
Зоногон — опуклий багатокутник з парною кількістю сторін, у якого всі протилежні сторони і кути рівні.
Зоногон — сума Мінковського скінченного числа відрізків на площині. Кількість сторін отриманого зоногона дорівнює подвоєній кількості відрізків.
Зоногон — межа проєкції на площину гіперкуба певної розмірності. Це визначення можна отримати з попереднього, користуючись тим фактом, що гіперкуб є сумою Мінковського своїх ребер, які виходять з однієї вершини, і тим, що проєкція суми Мінковського відрізків (як і будь-яких інших множин) є сумою Мінковського їхніх проєкцій. За розмірності гіперкуба $n$ отриманий зоногон має рівно $2n$ сторін у загальному випадку і не більше $2n$ сторін у будь-якому випадку. Важливо, що гіперкуб розмірності $n$ не обов'язково повинен проєктуватися з $n$ -вимірного простору на площину, що міститься в цьому просторі: наприклад, проєктуючи куб з ребром $2$ з тривимірного простору на площину, що міститься в ньому, можна отримати фігуру з діаметром менше $2$ , оскільки такий діаметр вписаної сфери куба, чия проекція є колом діаметра $2$ і міститься всередині проекції самого куба за будь-якого його положенні, а ось ортогональна проєкція куба такого ж розміру з вершинами $(0,0,\pm 1,\pm 1,\pm 1)$ з п'ятивимірного простору на площину, утворену усіма точками вигляду $(x,y,0,0,0)$ , складається взагалі з однієї точки — $(0,0,0,0,0)$ . Це уточнення впливає не тільки на розмір одержуваних зоногонів — деякі зоногони з точністю до подібності можна отримати тільки проєктуванням гіперкуба на площину з простору більшої розмірності, ніж розмірність самого гіперкуба.

Часткові випадки

Паралелограм — чотирикутник, що є зоногоном. Зокрема, зоногонами є ромб, прямокутник і квадрат.
Правильний багатокутник з парною кількістю сторін є зоногоном.

Властивості

Узагальнення теореми Монскі: ніякий зоногон не можна розрізати на непарну кількість рівних за площею трикутників. Цей факт довів той самий Пауль Монскі після основної теореми^[1]^[2].

Максимальна кількість пар вершин, які можуть міститись на однакових відстанях, у зоногоні з $n$ сторонами дорівнює $2n-3$ . Існують зоногони з кількістю таких пар, рівною $2n-O({\sqrt {n}})$ (див. «O» велике і «o» мале)^[3].

Будь-який строго опуклий зоногон з $2n$ сторонами можна розбити на ${\binom {n}{2}}={\frac {n(n-1)}{2}}$ паралелограмів, причому серед них завжди на кожну пару можливих напрямків сторін зоногона буде припадати рівно один паралелограм з такими ж напрямками сторін^[4]. Кількості таких можливих розбиттів для зоногонів з будь-якими кількостями сторін дає послідовність A006245 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS.

Для будь-якого довільного розбиття зоногона на паралелограми (в будь-якій можливій їх кількості) знайдеться принаймні три вершини зоногона, кожна з яких належить лише одному з паралелограмів^[5].

Способи зменшення кількості сторін

Зазначені способи можна застосувати в індукції за кількістю сторін зоногона для доведення наведених вище еквівалентних визначень і властивостей.

Відсікання вершин — за допомогою нього, наприклад, легко доводиться еквівалентність головного визначення другому визначенню з розділу з еквівалентними визначеннями.
Відсікання смуг паралелограмів — крім іншого, його можна використати для доведення властивостей вище, пов'язаних з розбиттям зоногонів на паралелограми повністю.

Замощення площини зоногонами

Всі зоногоны з кількістю вершин, більшою від чотирьох, у замощеннях нижче можна розбити на зоногоны з меншою кількістю вершин за допомогою розсікання шарів паралелограмів, показаного на одному з малюнків вище. Також ці паралелограми можна видалити із замощення, що буде рівносильно «складанню» зоногонів у певному напрямку.

Замощення одним типом зоногонів

Чотирикутник і шестикутники, які є зоногонами, є також паралелогонами і допускають замощення площини власними копіями, отриманими тільки за допомогою паралельного перенесення.

Замощення площини одним типом зоногонів
Замощення чотирикутними зоногонами	Замощення шестикутними зоногонами

Замощення двома типами зоногонів

Такі замощення є свого роду зрізаними замощеннями площини паралелограмами (чотирикутними зоногонами) по ребрах і по вершинах відповідно.

Замощення площин двома типами зоногонів
Замощення чотирикутними і шестикутними зоногонами	Замощення чотирикутними і восьмикутними зоногонами

Деякі інші замощення

Замощення площини декількома типами зоногонів, включно з восьмикутними, отримані з замощень площини одним типом зоногонів
Замощення чотирикутними і восьмиукутними зоногонами	Замощення чотирикутними, шестикутними і восьмикутними зоногонами
Каркаси

Замощення

У загальному випадку восьмикутний зоногон задає два подібних замощення.	У загальному випадку восьмикутний зоногон задає чотири подібних замощення.

Замощення площини чотирикутними, шестикутними і восьмикутними зоногонами, отримані з замощень попередньої таблиці
Замощення, отримане з замощення чотирикутними і восьмикутними зоногонами	Замощення, отримане з замощення чотирикутними, шестикутними і восьмикутними зоногонами
Каркаси

Замощення

У загальному випадку восьмикутний зоногон задає чотири подібних замощення (двома способами можна з'єднувати самі восьмикутники, а ще двома для кожного розташування восьмикутників згрупувати решту частини площини в чотирикутники і шестикутники).	У загальному випадку восьмикутний зоногон задає чотири подібних замощення, як і у випадку зліва. У цій мозаїці, на відміну від тієї, що зліва, чотирикутники, які беруть участь у заповненні дірок у «кільцях» з восьми восьмикутників, збігаються з чотирикутниками, які заповнюють дірки в «кільцях» з чотирьох восьмикутників — цей факт ілюструє можливість двоякого заповнення «кілець» з восьми восьмикутників (у другому варіанті їх чотирикутники збігалися б з чотирикутниками з «кілець» з шести восьмикутників).

Деякі способи «розсування» замощень

Замощення можна «розсунути» вздовж періодичних розрізів між багатокутниками, а отримані щілини можна заповнити смугами, наведеними нижче.

Способи з рівномірним чергуванням сторін
Період 1
Період 2
Період 3
Період 4		За допомогою цієї смуги ліве замощення з першої таблиці попереднього розділу можна перетворити на праве замощення тієї ж таблиці.

Способи зі сторонами, зустрічаються з різною частотою
Період 4		На межі цієї смуги один тип сторін зустрічається в два рази частіше, ніж будь-який з інших двох.

Узагальнення

Зоноедр (зонотоп) — багатогранник, який є узагальненням зоногона для тривимірного простору та просторів більшої розмірності. Іноді під зоноедром мають на увазі тільки тривимірний багатогранник, а під зонотопом — багатогранник довільної розмірності.
Можна розглядати центрально-симетричний багатокутник, що не є опуклим і навіть несамоперетинним. При цьому для нього будуть істинними тільки два перших визначення з розділу Еквівалентні визначення відповідно до прибраних вимог опуклості. У певному сенсі такі багатокутники з невеликою кількістю сторін все ще будуть допускати замощення площини.

Примітки

↑ Монски, Пауль (1990), A conjecture of Stein on plane dissections, Mathematische Zeitschrift, 205 (4): 583—592, doi:10.1007/BF02571264, MR 1082876
↑ Стейн, Шерман; Szabó, Sandor (1994), Algebra and Tiling: Homomorphisms in the Service of Geometry, Carus Mathematical Monographs, т. 25, Cambridge University Press, p. 130, ISBN 9780883850282
↑ Young, John Wesley; Schwartz, Albert John (1915), Plane Geometry, H. Holt, с. 121, If a regular polygon has an even number of sides, its center is a center of symmetry of the polygon
↑ Beck, József (2014), Probabilistic Diophantine Approximation: Randomness in Lattice Point Counting, Springer, с. 28, ISBN 9783319107417
↑ Andreescu, Titu; Feng, Zuming (2000), Mathematical Olympiads 1998-1999: Problems and Solutions from Around the World, Cambridge University Press, с. 125, ISBN 9780883858035

[1] Монски, Пауль (1990), A conjecture of Stein on plane dissections, Mathematische Zeitschrift, 205 (4): 583—592, doi:10.1007/BF02571264, MR 1082876

[2] Стейн, Шерман; Szabó, Sandor (1994), Algebra and Tiling: Homomorphisms in the Service of Geometry, Carus Mathematical Monographs, т. 25, Cambridge University Press, p. 130, ISBN 9780883850282

[3] Young, John Wesley; Schwartz, Albert John (1915), Plane Geometry, H. Holt, с. 121, If a regular polygon has an even number of sides, its center is a center of symmetry of the polygon

[4] Beck, József (2014), Probabilistic Diophantine Approximation: Randomness in Lattice Point Counting, Springer, с. 28, ISBN 9783319107417

[5] Andreescu, Titu; Feng, Zuming (2000), Mathematical Olympiads 1998-1999: Problems and Solutions from Around the World, Cambridge University Press, с. 125, ISBN 9780883858035

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]