Описаний чотирикутник

Чотирикутник, описаний навколо кола.

В Евклідовій геометрії описаний чотирикутник ^:cтор.54 — опуклий чотирикутник, усі сторони якого є дотичними до кола, розташованого всередині чотирикутника. Також має назву дотичний чотирикутник (англ. tangential quadrilateral). ^:cтор.65

Це коло називається вписаним колом чотирикутника, а його центр I — інцентром.

Центр вписаного в чотирикутник кола лежить на перетині бісектрис чотирьох його внутрішніх кутів.

Описаний чотирикутник є окремим випадком описаного багатокутника.

Особливі випадки

Не кожен чотирикутник можна описати навколо кола. Прикладом чотирикутника, який не можна описати навколо кола, є прямокутник, який не є квадратом.

Будь-який дельтоїд (в тому числі і ромб, квадрат) можна описати навколо кола. ^:cтор.55 Дельтоїди також є зовні-описаними чотирикутниками, та чотирикутниками з перпендикулярними діагоналями (ортодіагональними).

В трапецію можна вписати коло, якщо сума довжин її основ рівна сумі довжин її бокових сторін.

Біцентричний чотирикутник — це вписаний чотирикутник, який також є описаним. Прикладом може бути прямокутний дельтоїд, або рівнобічна трапеція, у якої висота є середнім геометричним між її основами.

Умови, за яких чотирикутник є описаним

У цьому розділі наведено необхідні та достатні умови, щоб чотирикутник був описаним.

• Опуклий чотирикутник можна описати тоді й лише тоді, коли чотири бісектриси його внутрішніх кутів є конкурентними, тобто, перетинаються в одній точці.^:cтор.62

Ця спільна точка є центром вписаного кола. Також в цій точці перетинаються бісектриси внутрішніх кутів, утворених при перетині прямих, що містять протилежні сторони чотирикутника.

• Сума протилежних сторін.

Згідно з теоремою Піто: ^{:cтор.55 ; :cтор.62-64 ; :стор.27-28 ;}

Опуклий чотирикутник ABCD з послідовними сторонами a, b, c, d можна описати навколо кола тоді і лише тоді, коли суми його протилежних сторін рівні.

$a+c=b+d$

Те, що це твердження є також і достатньою умовою, було доведено Якобом Штейнером у 1846 році.

Має місце і зворотня теорема, яка запропонована також Я.Штейнером ^{:cтор.64. теорема 10.4} :

Якщо суми протилежних сторін чотирикутника рівні, то цей чотирикутник є описаним навколо деякого кола.

Перетин протилежних сторін описаного чотирикутника

• Якщо протилежні сторони опуклого чотирикутника ABCD, який не є трапецією, перетинаються в точках E та F (прямі АВ і CD перетинаються в E, а прямі AD і BC перетинаються в F), то чотирикутник є описаним тоді і лише тоді, коли: ^{:cтор.64-65 ;}

$\displaystyle BE+BF=DE+DF$

або

$\displaystyle AF-AE=CF-CE$

Вписані кола в трикутники, утворені при перетині діагоналей

• Ще одна необхідна і достатня умова полягає в тому, що опуклий чотирикутник ABCD є описаним тоді і тільки тоді, коли кола, вписані в два трикутники ABC і ADC (або ABD i BCD), дотичні одне до одного. ^{:cтор.66-67 ;}

• Діагоналі опуклого чотирикутника ABCD при перетині ділять його на чотири трикутники ∆ABD, ∆ABC , ∆BCD, ∆ACD. Кола, вписані кола в ці трикутники, дотикаються до сторін чотирикутника у восьми точках, по дві на кожну сторону. Чотирикутник є описаним чотирикутником тоді і тільки тоді, коли суми відстаней між точками дотику на протилежних сторонах чотирикутника рівні: ^:cтор.68

$\displaystyle KL+MN=TR+VW$

• У 1954 році Маріус Йосіфеску (Marius Iosifescu) довів, що опуклий чотирикутник має вписане коло тоді і тільки тоді, коли
  $\tan {\frac {\angle ABD}{2}}\cdot \tan {\frac {\angle BDC}{2}}=\tan {\frac {\angle ADB}{2}}\cdot \tan {\frac {\angle DBC}{2}}.$

Вписані ззовні кола опуклого чотирикутника ABCD

• Крім того, опуклий чотирикутник з послідовними сторонами a, b, c, d є описаним тоді і тільки тоді, коли:

$R_{a}R_{c}=R_{b}R_{d}$

де R_a, R_b, R_c, R_d — радіуси вписаних ззовні кіл чотирикутника ABCD, які зовнішньо дотикаються до сторін a, b, c, d відповідно, і продовжень двох суміжних сторін для кожної сторони.^:стор.72

Властивості

Tangential quadrilateral with inradius r

Всі сторони описаного чотирикутника є дотичними до кола

Перпендикуляр, опущений з центра вписаного кола на будь-яку сторону описаного чотирикутника дорівнює радіусу кола.

Чотири відрізки між центром вписаного кола та точками дотику до чотирикутника розділяють чотирикутник на чотири прямокутних дельтоїда .

Якщо пряма розділяє описаний чотирикутник на два багатокутники з рівними площами та рівними периметрами, то ця пряма проходить через центр вписаного кола.

Формули для описаного чотирикутника

Площа

Нетригонометричні формули

• Площу описаного чотирикутника ABCD зі сторонами a, b, c, d можна знайти за формулою:

$S=r\cdot p,$

де r — радіус вписаного кола, $p={\frac {a+b+c+d}{2}}$ — півпериметр чотирикутника ABCD.

Ця формула площі справедлива для всіх описаних багатокутників.

• Формула площі описаного чотирикутника ABCD через його сторони та діагоналі: ^{:стор.29 ;}

$S={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {p^{2}q^{2}-(ac-bd)^{2}}}$

• Формула площі описаного чотирикутника ABCD через довжини дотичних відрізків e, f, g, h: ^{:стор.119 ;}

$S={\sqrt {(e+f+g+h)(efg+fgh+ghe+hef)}}.$

• А також: ^{:стор.128 ;}

$S={\sqrt {abcd-(eg-fh)^{2}}}.$

Оскільки $e\cdot g=f\cdot h$ тоді і тільки тоді, коли описаний чотирикутник ABCD також є вписаним, тобто ABCD — біцентричний ^{:стор.104 ;} , то з формули видно, що описаний чотирикутник має максимальну площу $S={\sqrt {abcd}}.$ тоді і тільки тоді, коли він є біцентричним.

Тригонометричні формули

• Формула площі описаного чотирикутника ABCD через його сторони a, b, c, d та два протилежних кута: ^{:стор.28 ; :стор.24, теорема12 ; :стор.156–157 ;}

$S={\sqrt {abcd}}\cdot \sin {\frac {A+C}{2}}={\sqrt {abcd}}\cdot \sin {\frac {B+D}{2}}.$

Для заданих довжин сторін площа є максимальною, коли чотирикутник також є вписаним і, отже, біцентричним чотирикутником. Для нього: $\sin {\frac {A+C}{2}}=\sin {\frac {B+D}{2}}=\sin 90^{\circ }=1$, а отже, $S={\sqrt {abcd}}$

• Формула площі описаного чотирикутника ABCD через дві сусідні сторони та два протилежних кута: ^{: стор.30}

$S=ab\sin {\frac {B}{2}}\csc {\frac {D}{2}}\sin {\frac {B+D}{2}}.$

• Формула площі описаного чотирикутника ABCD через сторони a, b, c, d та кут між діагоналями: ^{: стор.29}

$S={\tfrac {1}{2}}|(ac-bd)\tan {\theta }|$

Цю формулу не можна використовувати для дельтоїдів, оскільки в них діагоналі перпендикулярні: θ = 90°, і функція тангенса не визначена.

• Формула площі описаного чотирикутника ABCD через відстані від його вершин до центра вписаного кола I та два протилежних кута:^:стор.19

$S=\left(IA\cdot IC+IB\cdot ID\right)\sin {\frac {A+C}{2}}$

Нерівності, пов'язані з площею

Як опосередковано зазначено вище, площа описаного чотирикутника зі сторонами a, b, c, d задовольняє нерівності:

$S\leq {\sqrt {abcd}}$

Рівність досягається тільки для біцентричного чотирикутника.

За Т. А. Івановою (1976 р.), півпериметр p описаного чотирикутника задовольняє нерівності:

$p\geq 4r$

де r - радіус вписаного кола. Рівність досягається тоді і тільки тоді, коли чотирикутник є квадратом.

Це означає, що для площі K = r p існує нерівність

$S\geq 4r^{2}$

де рівність досягається тоді і тільки тоді, коли описаний чотирикутник є квадратом.

As indirectly noted above, the area of a tangential quadrilateral with sides a, b, c, d satisfies

Радіус вписаного кола

Радіус вписаного кола описаного чотирикутника ABCD зі сторонами a, b, c, d та площею S, можна обчислити за формулою: ^:стор.28

$r={\frac {S}{p}}={\frac {S}{a+c}}={\frac {S}{b+d}}$

Описаний чотирикутник з даними сторонами має максимальний радіус вписаного кола, якщо чотирикутник є одночасно і вписаним (тобто біцентричним).

Радіус вписаного кола описаного чотирикутника ABCD через довжини дотичних відрізків e, f, g, h: ^{:стор.104, Лемма2 ;}

$\displaystyle r={\sqrt {\frac {efg+fgh+ghe+hef}{e+f+g+h}}}.$

Часткові випадки

• Ромб
• Квадрат
• Дельтоїд

Див. також

• Вписаний чотирикутник

Література

• Істер О.С. Геометрія: 8 клас. — Київ : Генеза, 2021. — С. 240. — ISBN 978-966-11-1191-1.

• Мерзляк А.Г., Полонський В.Б., Якір М.С. Геометрія: підруч. для 8 кл. загальноосвіт. навч. закладів. — 2-ге. переробл. — Харків : Гімназія, 2021. — С. 208 : стор. 64-65. — ISBN 978-966-474-275-4.