Описане коло

Описане коло багатокутника - коло, що містить всі вершини багатокутника. Центром є точка (прийнято позначати O ) перетину серединних перпендикулярів до сторін багатокутника.

Центр описаного кола опуклого n-кутника лежить на точці перетину серединних перпендикулярів його сторін. Звідси випливає, що коли навколо n-кутника побудоване описане коло, то всі серединні перпендикуляри до його сторін перетинаються в одній точці (центрі кола). Навколо будь-якого правильного багатокутника можна описати коло-це не правильно!

Трикутник

Коло, описане довкола трикутника

• Навколо будь-якого трикутника можна описати коло, до того ж тільки одне. Його центром буде точка перетину серединних перпендикулярів.

• У гострокутного трикутника центр описаного кола лежить всередині, у тупокутного - поза трикутником, у прямокутного - на середині гіпотенузи.

• 

  Гострокутний

• 

  Тупокутний

• 

  Прямокутний

Позначаємо літерою О точку перетину серединних перпендикулярів до його сторін та проведемо відрізки ОА, ОВ і ОС. Оскільки точка О рівновіддалена від вершин трикутника АВС, то ОА = OB = ОС. Тому коло з центром О радіусу ОА проходить через всі три вершини трикутника і, отже, є описаним навколо трикутника ABC.

• 3 з 4 кіл, описаних відносно серединних трикутників (утворених середніми лініями трикутника), перетинаються в одній точці всередині трикутника. Ця точка і є центром описаного кола основного трикутника.
• Центр описаного навколо трикутника кола служить ортоцентром трикутника з вершинами на серединах сторін даного трикутника. Ортоцентр трикутника - це точка перетину висот трикутника або їх продовжень.
• Відстань від вершини трикутника до ортоцентру вдвічі більше, ніж відстань від центру описанго кола до протилежної сторони.
• Радіус описаного кола можна знайти за формулами:

$R = \frac {abc}{4S}$

$R = \frac {a}{2\sin\alpha}$

$R = \frac{abc}{\sqrt{(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}}$

Де:

$a, b, c$ — сторони трикутника,

$\alpha$ — кут, що лежить навпроти сторони $a$,

$S$ — площа трикутника.

• Положення центру описаного кола.

Нехай $~ {\mathbf r}_A, {\mathbf r}_B, {\mathbf r}_C$ радіус-вектори вершин трикутника, $~ \mathbf{r}_O$ — радіус-вектор центру описаного кола. Тоді

$~ \mathbf{r}_O= \alpha_A\mathbf{r}_A + \alpha_B\mathbf{r}_B+\alpha_C\mathbf{r}_C$

де

$\alpha_A = \frac{a^2}{8S^2}(\mathbf{r}_A-\mathbf{r}_B,\mathbf{r}_A-\mathbf{r}_C), \qquad \alpha_B = \frac{b^2}{8S^2}(\mathbf{r}_B-\mathbf{r}_A,\mathbf{r}_B-\mathbf{r}_C), \qquad \alpha_C = \frac{c^2}{8S^2}(\mathbf{r}_C-\mathbf{r}_A,\mathbf{r}_C-\mathbf{r}_B)$

• Рівняння описаного кола.

Нехай$~ {\mathbf r}_A = (x_A, y_A), {\mathbf r}_B = (x_B, y_B), {\mathbf r}_C= (x_C, y_C)$ координати вершин трикутника в певній декартовій системі координат на площині, $~ \mathbf{r}_O= (x_O, y_O)$ — координати центру описаного кола. Тоді

$x_O=\frac{1}{4S}\begin{vmatrix} x_A^2 + y_A^2 & y_A & 1 \\ x_B^2 + y_B^2 & y_B & 1 \\ x_C^2 + y_C^2 & y_C & 1 \end{vmatrix} \qquad y_O=-\frac{1}{4S}\begin{vmatrix} x_A^2 + y_A^2 & x_A & 1 \\ x_B^2 + y_B^2 & x_B & 1 \\ x_C^2 + y_C^2 & x_C & 1 \end{vmatrix}$

а рівняння описаного кола має вигляд

$\begin{vmatrix} x^2 + y^2 & x & y & 1 \\ x_A^2 + y_A^2 & x_A & y_A & 1 \\ x_B^2 + y_B^2 & x_B & y_B & 1 \\ x_C^2 + y_C^2 & x_C & y_C & 1 \end{vmatrix} =0$

Для точок $~(x, y)$, що лежать всередині кола, визначник негативний, а для точок поза нею - позитивний.

• Теорема про тризубець : Якщо $W$ - точка перетину бісектриси кута $A$ з описаним колом, а $I$ - центр вписаного кола то $|WI|=|WB|=|WC|$.

• Формула Ейлера : Якщо $d$ - відстань між центрами вписаного і описаного кіл, а їхні радіуси дорівнюють $r$ і $R$ відповідно, то $d^2 = R^2 - 2Rr$.

Чотирикутник

Малюнок до теореми Птолемея

Вписаний простий (без самоперетинів) чотирикутник обов'язково є опуклим .

Навколо опуклого чотирикутника можна описати коло тоді й тільки тоді, коли сума його внутрішніх протилежних кутів дорівнює 180 ° (π радіан).

Радіус описаного кола правильного $n$-кутника з довжиною сторін $a$ дорівнює:

$R = \frac{a}{2 \sin\frac{180^\circ}{n}}$

Можна описати коло навколо:

• будь-якого прямокутника (окремий випадок: квадрат)
• будь-якої рівнобедреної трапеції

• Теорема Птолемея: у чотирикутника, вписаного в коло, добуток довжин діагоналей дорівнює сумі добутків довжин пар протилежних сторін:

|AC|·|BD| = |AB|·|CD| + |BC|·|AD|

Багатокутник

Якщо з відрізків скласти багатокутник, то його площа буде максимальною, коли він вписаний.

Див. також

• Вписане коло
• Коло
• Трикутник

Література

• Понарин Я.П. Элементарная геометрия. В 2 тт. — М.: МЦНМО, 2004. — С. 53-54. — ISBN 5-94057-170-0
• Л.Е. Гендельштейн, А.П. Єршова, Наочний довідник з геометрії, Гімназія, 1997 - ISBN 966-562-080-0.

Посилання

• Описане коло (нім.)
• Анімація: описане коло трикутника