Множина Кантора

Множина Кантора — підмножина відрізку дійсних чисел [0,1], запропонована німецьким математиком Георгом Кантором.

Побудова

Множина Кантора будується за допомогою видалення середніх третин сегментів прямої. На першому кроці видаляється середня третина із одиничного інтервалу [0, 1], залишаючи [0, 1/3] ∪ [2/3, 1]. На наступному кроці, видаляється середня третина кожного із отриманих інтервалів. Цей процес повторюється до нескінченності. Множина Кантора складається із всіх точок інтервалу [0, 1] які залишаються після всіх повторних видалень. Перші сім кроків зображено нижче.

Що знаходиться в множині Кантора?

Оскільки множина Кантора визначається як множина не видалених точок, можна визначити відношення цієї множини до одиничного інтервалу через загальну довжину видалених підінтервалів. Загальна довжина дорівнює геометричній послідовності:

$\sum_{n=0}^\infty \frac{2^n}{3^{n+1}} = \frac{1}{3} + \frac{2}{9} + \frac{4}{27} + \frac{8}{81} + \cdots = \frac{1}{3}\left(\frac{1}{1-\frac{2}{3}}\right) = 1.$

Таким чином, пропорція зліва 1 − 1 = 0. Аналогічно, можна помітити, що на кожному кроці залишається 2/3 від довжини інтервалу, отриманого на попередньому кроці. Таким чином, отримуємо довжину інтервалу 2/3 × 2/3 × 2/3 × ..., нескінченний добуток, границя значень якого дорівнює 0.

Дивлячись на результати обчислень, може здатись дивним, що щось таки залишається — сума довжин видалених інтервалів дорівнює довжині початкового інтервалу. Однак, при ближчому погляді на процес, можна помітити, що щось має залишитись, так як видалення «середньої третини» кожного інтервалу призводить до видалення відкритого інтервалу (інтервалу, який не містить своїх меж). Так, видалення сегменту (1/3, 2/3) із початкового інтервалу залишає точки 1/3 та 2/3. В подальшому, ці межі не видаляються, оскільки інтервали, що видаляються, є відкритими по відношенню до інтервалів, що залишаються. Тому множина Кантора не порожня.

Властивості

Множина Кантора є прототипом фракталу. Вона є самоподібною, оскільки вона дорівнює двом своїм копіям, якщо кожну копію зменшити в три рази та перенести. Її розмірність Хаусдорфа дорівнює ln(2)/ln(3). Її можна утворити перетином килима Серпінського будь якою прямою, яка проходить через центр симметрії (як, наприклад, центральна вісь).

Топологічні властивості

• Множина Кантора C є замкнена і компактна, бо вона є перетином замкнених підмножин відрізку [0,1], який є компактним. Таким чином C - повний метричний простір і тому задовольняє всі аксіоми T_i. Крім того, C задовольняє другу аксіому зліченості, тому що одиничний відрізок її задовольняє.
• C - щільна в собі, тому що кожна відкрита множина, яка містить точку p, що міститься в C, містить точки C відмінні від p. Таким чином, C не є нещільною і з того, що вона замкнена маємо, що вона досконала.
• Множина Кантора ніде не щільна на відрізку[0,1], тому що замкнена, і жодний відкритий інтервал на [0,1] не є об'єднанням всіх викинутих інтервалів з [0,1].Будучи ніде не щільною на [0,1], C очевидно,є множиною першої категорії відрізку [0,1]. Але так як C є компактним метричним простором, вона є множиною другої категорії в собі.
• Множина Кантора незлічена. Ми можемо визначити функцію f: з множини Кантора на відрізок [0,1], як визначено нижче. Якщо x, що належить C записано однозначно за основою 3 без використання цифри 1, f(x) - точка на відрізку [0,1], чий бінарний розклад, отриманий заміною кожної цифри 2 в тринарному (з основою 3) розкладі x на цифру 1. Очевидно, всі точки з [0,1] можуть бути отримані таким шляхом.
• Компоненти C - окремі точки, тобто якщо a<b дві точки з C, то існує дійсне число r, що не належить C, таке, що a<r<b. Тоді A дорівнює перетину C з [0,r) і B дорівнює перетину C з (r,l] це розбиття C, де a належить A і b належить B. Тоді C цілком відокремлена.
• Але C не є повністю незв'язною, тому що C в перетині з [0,1/4) та C в перетині з (1/4,1] це неперетинні відкриті підмножини C з краями що не перетинаються, тому що 1/4=0,02020202 належить обом краям.
• Злічений нескінчений добуток A=$\prod_{n = 1}^{\infty} A_n$ двоточкових дискретних просторів A_n={0,2} (для всіх n) гомеоморфний множині Кантора. В C базисні елементи складаються з усіх множин виду {y|(x-y)<ε}, де x належить C, ε>0. В $\prod_{n = 1}^{\infty} A_n$ множини виду {<a_i>є$\prod_{n = 1}^{\infty} A_n$|a_i - фіксоване для 1≤i≤n} утворюють базис топології добутку. Функція f:$\prod_{n = 1}^{\infty} A_n$→C, f:<a₁,a₂,a₃...>→0,a₁a₂a₃...

Очевидно, що f та f^-1 неперервні, бо вони переводять базисні елементи у базисні елементи.

• З того, що C цілком відокремлена, випливає, що вона не локально-зв'язна. Але C є зліченим добутком копій локально-зв'язного дискретного простору {0,2}.

Посилання

2."Counterexamples In Topology", Steen Seebach.