Дистрибутивність

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Дистрибутивність (розподільний закон) — властивість бінарних операцій, визначених на одній множині.

Дві бінарні операції + та ×, визначені на множині S задовольняють властивості дистрибутивності, якщо для будь-яких трьох елементів x, y, z із S виконується:

  • x×(y+z) = x×y + x×z — дистрибутивність зліва
  • (y+z)×x = y×x + z×x — дистрибутивність справа

Якщо операція × є також комутативною, то властивості дистрибутивності справа та зліва збігаються, і така операція є дистрибутивною.

Адитивна та мультиплікативна операції в кільцях і полях задовольняють властивості дистрибутивності за визначенням.

Розподільні власності[ред.ред. код]

У абстрактній алгебрі і логіці, дистрибутивність це властивість бінарних операцій, узагальнюючий дистрибутивний закон від елементарної алгебри. У логіці висловлювань розподіл відноситься до двох дійсних правил заміни . Правила дозволяють сформулювати кон'юнкції і диз'юнкції в логічних доказах . Наприклад, в арифметичній : 2 × (1 + 3) = (2 × 1) + (2 × 3), але 2 / (1 + 3) не дорівнює (2/1) + (2/3). У лівій частині першого рівняння, 2 множиться на суму 1 і 3; з правого боку, 2 множиться на 1 і 3 індивідуально, а потім результати додаються. Тому що вони дають ту ж саму остаточну відповідь (8), ми говоримо, що множення на 2 поширює більш додавання 1 і 3. Так як ми могли б взяти будь-які дійсні числа замість 2, 1 і 3, і отримати справжнє рівняння, ми говоримо, що множення дійсних чисел дистрибутивне відносно додавання.

Визначення[ред.ред. код]

Враховуючи безліч S і два бінарних оператори + × і на S , то говорять, що операція ×

  • є ліво-дистрибутивною більш +, якщо для будь-яких елементів х , у , і z з S ,

х · ( у + Z ) = ( X · Y ) + ( х · z );

  • є право-дистрибутивною більш +, якщо для будь-яких елементів х , у , і z з S :

( У + z ) · X = ( Y · х ) + ( z · х );

  • є розподільчою більш +, якщо вона ліворуч і праворуч-розподільна. [ 1 ]

Зверніть увагу, що, коли · є комутативною , то три вищезгадані умови є логічно еквівалентними.

Логіка висловлювань[ред.ред. код]

Правило заміни

У стандартних правда-функціональної логіки висловлювань, два допустимих правила заміни. Правила дозволяють поширювати певні логічні зв'язки в логічні вирази в логічних доказах. Правила такі:

(P \and (Q \or R)) \Leftrightarrow ((P \and Q) \or (P \and R))

i

(P \or (Q \and R)) \Leftrightarrow ((P \or Q) \and (P \or R))

Де "\Leftrightarrow" є металогічний символ представляє «можуть бути замінені на доказ з» Істина функціональних зв'язок

Дистрибутивність є властивість деяких логічних зв'язок істини-функціональної логіки висловлювань. Такі логічні еквівалентності демонструють, що дистрибутивності є власністю зокрема зв'язувань. Нижче наведені правда-функціональної тавтології .

Розподіл спільно над поєднанні

(P \and (Q \and R)) \leftrightarrow ((P \and Q) \and (P \and R))

Розподіл спільно над диз'юнкції

(P \and (Q \or R)) \leftrightarrow ((P \and Q) \or (P \and R))

Розподіл диз'юнкції над поєднанні

(P \or (Q \and R)) \leftrightarrow ((P \or Q) \and (P \or R))

Розподіл диз'юнкції над диз'юнкції

(P \or (Q \or R)) \leftrightarrow ((P \or Q) \or (P \or R))

Розподіл наслідки

(P \to (Q \to R)) \to ((P \to Q) \to (P \to R))

Розподіл наслідки більш еквівалентності

P \to (Q \leftrightarrow R) \leftrightarrow ((P \to Q) \leftrightarrow (P \to R))

Розподіл диз'юнкції над еквівалентності

(P \or (Q \leftrightarrow R)) \leftrightarrow ((P \or Q) \leftrightarrow (P \or R))

Поширення заперечення над еквівалентності

\neg (P \leftrightarrow Q) \leftrightarrow (\neg P \leftrightarrow Q)

Двомісний розподілу

((P \and Q) \or (R \and S)) \leftrightarrow (((P \or R) \and (P \or S)) \and ((Q \or R) \and (Q \or S)))
((P \or Q) \and (R \or S)) \leftrightarrow (((P \and R) \or (P \and S)) \or ((Q \and R) \or (Q \and S)))

Самостійна дистрибутивний закон слідування

S \to (P \to Q) \to ((S \to P) \to (S \to Q))

Дистрибутивність і округлення[ред.ред. код]

На практиці, розподільна властивість множення (і ділення) над Крім того, може здаватися, бути скомпрометовані або втратили через обмеження арифметичної точністю . Наприклад, дані про особу ⅓ + ⅓ + ⅓ = (1 +1 +1) / 3 з'явиться на провал, якщо того ведеться в десяткової арифметики , проте, якщо багато значущих цифр використовуються, розрахунок приведе наближення до правильні результати. Наприклад, якщо арифметичне обчислення приймає вигляд: 0,33333 0,33333 0,33333 = 0,99999 ≠ 1, цей результат є більш тісне наближення, ніж якщо б менше значущих цифр були використані. Навіть тоді, коли дробові числа можуть бути представлені точно в арифметичній формі, помилки будуть введені, якщо ці арифметичні значення округляються або усічений. Наприклад, купуючи дві книги, кожна за ціною £ 14,99 до податку на 17,5%, в двох окремих операцій буде реально заощадити £ 0,01, у порівнянні з покупкою їх разом: £ 14,99 × 1,175 = £ 17,61 до найближчої £ 0,01, що в сумі витрати в розмірі £ 35,22, але £ 29,98 × 1,175 = 35,23 руб. Такі методи, як банківське округлення може допомогти в деяких випадках, як може підвищення точності використовується, але в кінцевому рахунку деякі помилки в розрахунках неминучі.


Дистрибутивність в кільцях[ред.ред. код]

Дистрибутивності найбільш часто зустрічається в кільцях і дистрибутивних решіток . Кільце складається з двох бінарних операцій (зазвичай званий "+" і "*"), і однією з вимог є те, що кільце * повинні поширювати більш +. Більшість видів чисел (приклад 1) і матриць (приклад 4) форму кільця. Решітка ще один вид алгебраїчної структури з двома бінарними операціями, ∧ та ∨. Якщо будь-яка з цих операцій (скажімо, ∧) розподіляє в порівнянні з іншими (∨), то ∨ також повинні поширювати по ∧, і гратки називаються дистрибутивними. Приклади 4 і 5 є булеві алгебри , які можна інтерпретувати як особливий вид кільця ( булеве кільце ) або особливий вид дистрибутивної гратки ( Булеві решітки ). Кожна інтерпретація несе відповідальність за різні розподільні закони булевої алгебри. Приклади 6 та 7 дистрибутивних решіток, які не є булевими алгебрами. Кільця в дистрибутивних решітках є спеціальними видами установок.

Узагальнення дистрибутивності[ред.ред. код]

У декількох математичних областях, узагальнені закони дистрибутивності розглядаються. Це може призвести до ослаблення зазначених вище умов або розширення інфінітних операцій. Особливо в порядку теорії можна знайти безліч важливих варіантів дистрибутивності, деякі з яких включають інфінітні операції, таких ,як нескінченне дистрибутивний закон . Це також включає в себе поняття повністю дистрибутивних граток . У присутності відношення порядку, можна також послабити вище рівності замінивши = або ≤ або ≥. Природно, це призведе до значимих понять лише в деяких ситуаціях. Застосування цього принципу є поняття суб-дистрибутивності , як описано в статті інтервальної арифметики . У теорії категорій , якщо (S, μ, η) та (S ', μ', η ') є Монада по категорії C , дистрибутивний закон SS '→ S'. є природним перетворенням λ: SS '→ S . S така, що ( S ' , λ) , S → S і ( S , λ), S '→ S' . Це саме дані, необхідні для визначення монади структури на S S '. : множення карта S'μ μ'S ² S'λS .. , і блок карті η η'S. . Див: дистрибутивний закон між Монадами . Узагальнений дистрибутивний закон також був запропонований в області теорії інформації.

Приклади[ред.ред. код]

  • В арифметиці — дистрибутивність множення відносно додавання:
\ a \cdot (b + c) = (a \cdot b) + (a \cdot c)
a \land (b \lor c) \equiv (a \land b) \lor (a \land c)
a \lor (b \land c) \equiv (a \lor b) \land (a \lor c)
дистрибутивність кон'юнкції відносно імплікації \to:
a \land (b \to c) \equiv (a \land b) \to (a \land c)
дистрибутивність диз'юнкції відносно неімплікації \not\to:
a \lor (b \not\to c) \equiv (a \lor b) \not\to (a \lor c)
дистрибутивність кон'юнкції відносно нееквівалентності \not\leftrightarrow (тобто виключної дизюнкції \oplus):
a \land (b \not\leftrightarrow c) \equiv (a \land b) \not\leftrightarrow (a \land c)
дистрибутивність диз'юнкції відносно еквівалентності:
a \lor (b \leftrightarrow c) \equiv (a \lor b) \leftrightarrow (a \lor c)
A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)
A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)
дистрибутивність перетину множин відносно симетричної різниці множин:
A \cap (B \triangle C) = (A \cap B) \ \triangle \ (A \cap C)

Див. також[ред.ред. код]