Асоціативність

Асоціативна операція (сполучний закон) — бінарна операція, яка володіє властивістю асоціативності (від латинського слова associatio — «з'єднання»), тобто виконується:

$(x\cdot y)\cdot z = x\cdot (y\cdot z)$ для довільних елементів $x,y,z \!$.

Для асоціативної операції результат обчислення $x_1\cdot x_2 \cdot\dots\cdot x_n$ не залежить від порядку обчислення (розташування дужок), і тому можна опускати дужки у записі виразу. Для неасоціативної операції значення виразу $x_1\cdot x_2 \cdot\dots\cdot x_n$ при $n>2 \!$ не визначено.

Довільна групова операція — асоціативна.

Приклади асоціативних операцій

• Додавання і множення дійсних чисел, комплексних чисел, кватерніонів та матриць є асоціативним.
• Об'єднання та перетин множин є асоціативним.
• Множення (композиція) відображень є асоціативним.

Приклади неасоціативних операцій

• Віднімання і ділення дійсних чисел, комплексних чисел та кватерніонів є неасоціативним.
• Векторний добуток є неасоціативним.
• Множення октоніонів неасоціативне.

Див. також

• комутативність
• дистрибутивність
• альтернативність

Література

• Українська радянська енциклопедія. В 12-ти томах / За ред. М. Бажана. — 2-ге вид. — К.: Гол. редакція УРЕ, 1974-1985.