Рухоме середнє

Ковзаюче середнє (процес ковзаючого середнього; англ. moving average, рос. Скользящая средняя) — один із інструментів аналізу випадкових процесів та часових рядів, що полягає в обчисленні середнього підмножини значень. Ковзаюче середнє не є скаляром а є випадковим процесом. Розмір підмножини, від якої обчислюється середнє значення може бути як сталим, так і змінним. Ковзаюче середнє може мати ваги, наприклад, для посилення впливу новіших даних у порівнянні зі старішими.

Ковзаюче середнє може обчислюватись від довільних даних, однак, найчастіше його використовують в аналізі часових рядів для зглажування раптових коливань та підкреслення довготермінових трендів або циклів. З математичної точки зору, ковзаюче середнє є різновидом згортки та схоже на фільтр низьких частот в обробці сигналів.

Просте рухоме середнє

Нехай $\{x_t\}$ — часовий ряд, рухомее середнє $\{y_t\}$ обчислюється як результат лінійного перетворення:

$y_t = \sum_{r = -q}^{+s} a_r x_{t+r}$

де сума ваг $a_r$ дорівнює 1 ($\Sigma a_r = 1$).

Приклади

Прикладом простого симетричного зглажуючого фільтру є просте ковзаюче середнє, для якого $a_r = 1 / (2q + 1)$ для $r = -q, \dots, +q$ а зглажене значення $x_t$ обчислюється як:

$KC(x_t) = \frac{1}{2q+1} \sum_{r = -q}^{+q} x_{t + r}.$

Взагалі кажучи, просте ковзаюче середнє може бути не найкращим варіантом для обчислення трендів.

Іншим прикладом ковзаючого середнього є випадок, коли $\{a_r\}$ є членами розкриття $(1/2 + 1/2)^{2q}$. Тобто, при $q= 1$, ваги $a_{-1} = a_1 = \frac{1}{4}$, $a_0 = \frac{1}{2}$.

Процес рухомого середнього

Нехай $\{Z_t\}$ — повністю випадковий процес з нульовим середнім та дисперсією $\sigma_Z^2$. Процес $\{X_t\}$ називається процесом рухомого середнього порядку $q$, якщо:

$X_t = \beta_0 Z_t + \beta_1 Z_{t-1} + \beta_2 Z_{t-2} + \dots + \beta_q Z_{t-q}$,

де $\{\beta_i\}$ — константи.

Примітки

• Chris Chatfield (1996). The Analysis of Time Series, an Introduction (вид. 5-те). Chapman & Hall/CRC. с. 33. 

Дивіться також

• Експоненційне зглажування;
• Авторегресійне Рухоме середнє (скорочено АРРС, англ. ARMA).