Напівпрямий добуток

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Напівпрямий добуток — конструкція в теорії груп, що дозволяє будувати нову групу за двома групами H і N, і дією \phi групи H в просторі групи N, що зберігає її групову структуру.

Напівпрямий добуток груп N і H над \phi звичайно позначається N\rtimes_\phi H.

Конструкція[ред.ред. код]

Нехай задана дія групи H на просторі групи N із збереженням її групової структури. Це значить, що задано гомоморфізм \phi: H \rightarrow \mbox{Aut}(N) групи H в групу автоморфізмів групи N. Автоморфізм групи N, що відповідає елементу h із H при гомоморфізмі \phi позначимо \phi_{h}. У якості групи G — напівпрямого добутку груп H і N над гомоморфізмом \phi — береться множина N\times H з бінарної операцією *, яка діє за правилом:

(n_1, h_1) * (n_2, h_2) = (n_1\phi_{h_1}(n_2), h_1h_2) для довільних n_1,n_2 \in N, h_1,h_2 \in H.

Властивості[ред.ред. код]

  1. Групи H і N природно вкладені в G, причому N — нормальна підгрупа в G.
  2. Кожен елемент g\in G однозначно розкладемо у добуток g=nh, де h і n — елементи груп H і N відповідно. (Ця властивість виправдовує назву групи G як напівпрямого добутку груп H і N.)
  3. Задана дія \phi груп H на групі N збігається з дією H на N спряженнями (в групі G).

Будь-яка група з властивостями 1-3 ізоморфна групі G (властивість універсальності напівпрямогу добутку груп).


Приклад[ред.ред. код]

Група \mathbb{Z}_4 діє на \mathbb{Z}_5 (розглядається як адитивна група відповідного кільця) чотирма різними способами:

\phi_h(n) = a^h n, де a — фіксований ненульовий елемент \mathbb{Z}_5, h\in\mathbb{Z}_4, n\in\mathbb{Z}_5.

Відповідно, на множині \mathbb{Z}_5\times\mathbb{Z}_4 можна ввести 4 структури групи - напівпрямого добутку:

  1. (n_1,h_1)*(n_2,h_2) = (n_1 + n_2, h_1 + h_2)\,
  2. (n_1,h_1)*(n_2,h_2) = (n_1 + (-1)^{h_1}n_2, h_1 + h_2)
  3. (n_1,h_1)*(n_2,h_2) = (n_1 + 2^{h_1}n_2, h_1 + h_2)
  4. (n_1,h_1)*(n_2,h_2) = (n_1 + 3^{h_1}n_2, h_1 + h_2)

Можна показати, що останні дві групи ізоморфні, а решта - ні, а також, що ці приклади перераховують всі групи порядку 20, що містять елемент порядку 4 (при цьому використовуються теореми Силова).

Подібним чином півпрямі дубуткі груп використовується взагалі для класифікації кінцевих груп.

Література[ред.ред. код]