Діедральна група

Ця сніжинка має діедральну симетрію правильного шестикутника

В математиці, діедральна група це група симетрій правильного багатокутника, яка включає обертання та відбиття.^[1] Діедральна група один з найпростіших прикладів скінченних груп, і вони відіграють важливу роль в теорії груп, геометрії та хімії.

Види запису[ред.]

Існують два види запису діедральних груп пов'язаних із багатокутником з n сторонами. У геометрії група записується D_n, тоді як алгебрі та сама група позначається D_2n з метою вказання кількості елементів.

У цій статті, D_n (і іноді Dih_n) посилається на симетрії правильного багатокутника з n сторонами.

Визначення[ред.]

Елементи[ред.]

Шість осьових симетрій правильного шестикутника

Правильний многокутник з n сторонами має 2n різних симетрій: n обертальних симетрій і n осьових симетрій. Пов'язані обертання і відбиття утворюють діедральну групу D_n. Якщо n непарне, тоді кожна вісь симетрії поєднує середину сторони і протилежу вершину. Якщо n парне, тоді існує n/2 осей симетрій, які поєднують протилежні вершини. Так чи інакше, існує n осей симетрії і 2n елементів у групі симетрій. Відбиття відносно однієї з осей симетрії із наступним відбиттям відносно іншої осі рівноцінно обертанню на подвоєний кут між осями. Наступне зображення показує 16 елементів групи D₈ для знаку «Stop»:

Перший рядок показує ефект восьми обертань, другий — восьми відбиттів.

Структура групи[ред.]

Як і з багатьма геометричними об'єктами, композиція двох симетрій правильного многокутника є симетрією. Ця операція надає симетріям алгебраїчну структуру скінченної групи.

Поєднання двох відбиттів дає обертання

Наступна таблиця Келі показує наслідки поєднань в групі D₃ (симетрій правильного трикутника). R₀ позначає тотжність; R₁ і R₂ позначають обертання на 120 і 240 градусів проти (руху) годинникової стрілки; і S₀, S₁, і S₂ позначають відбиття через три лінії показані на малюнку праворуч.

	R₀	R₁	R₂	S₀	S₁	S₂
R₀	R₀	R₁	R₂	S₀	S₁	S₂
R₁	R₁	R₂	R₀	S₁	S₂	S₀
R₂	R₂	R₀	R₁	S₂	S₀	S₁
S₀	S₀	S₂	S₁	R₀	R₂	R₁
S₁	S₁	S₀	S₂	R₁	R₀	R₂
S₂	S₂	S₁	S₀	R₂	R₁	R₀

Наприклад, S₂S₁ = R₁ бо відбиття S₁ із наступним відбиттям S₂ утворюють обертання на 120 градусів. (Це звичайний зворотний порядок композиції.) Композиція операцій не комутативна.

Загалом, група D_n має елементи R₀,...,R_n−1 і S₀,...,S_n−1, з композиціями заданами наступними формулами:

$R_i\,R_j = R_{i+j},\;\;\;\;R_i\,S_j = S_{i+j},\;\;\;\;S_i\,R_j = S_{i-j},\;\;\;\;S_i\,S_j = R_{i-j}.$

В усіх випадках, додавання і віднімання індексів повинно виконуватись із використанням модульної арифметики з модулем n.

Матричне представлення[ред.]

Симетрії п'ятикутника є лінійними відображеннями.

Якщо ми відцентруємо правильний многокутник в початку координат, тоді елементи діедральної групи діють як лінійні перетворення площини. Це дозволяє представити елементи D_n у вигляді матриць, тоді композиція буде добутком матриць. Це приклад (2-вимірного) представлення групи.

Наприклад, елементи групи D₄ можуть бути представлені наступними вісьмома матрицями:

$\begin{matrix} R_0=\bigl(\begin{smallmatrix}1&0\\[0.2em]0&1\end{smallmatrix}\bigr), & R_1=\bigl(\begin{smallmatrix}0&-1\\[0.2em]1&0\end{smallmatrix}\bigr), & R_2=\bigl(\begin{smallmatrix}-1&0\\[0.2em]0&-1\end{smallmatrix}\bigr), & R_3=\bigl(\begin{smallmatrix}0&1\\[0.2em]-1&0\end{smallmatrix}\bigr), \\[1em] S_0=\bigl(\begin{smallmatrix}1&0\\[0.2em]0&-1\end{smallmatrix}\bigr), & S_1=\bigl(\begin{smallmatrix}0&1\\[0.2em]1&0\end{smallmatrix}\bigr), & S_2=\bigl(\begin{smallmatrix}-1&0\\[0.2em]0&1\end{smallmatrix}\bigr), & S_3=\bigl(\begin{smallmatrix}0&-1\\[0.2em]-1&0\end{smallmatrix}\bigr). \end{matrix}$

Загалом, матрицями для елементів з D_n мають наступний вигляд:

$\begin{align} R_k & = \begin{pmatrix} \cos \frac{2\pi k}{n} & -\sin \frac{2\pi k}{n} \\ \sin \frac{2\pi k}{n} & \cos \frac{2\pi k}{n} \end{pmatrix} \ \ \text{i} \\ S_k & = \begin{pmatrix} \cos \frac{2\pi k}{n} & \sin \frac{2\pi k}{n} \\ \sin \frac{2\pi k}{n} & -\cos \frac{2\pi k}{n} \end{pmatrix} . \end{align}$

R_k — матриця повороту, яка уособлює обертання проти годинникової стрілки на кут 2πk ⁄ n. S_k — відбиття через лінію утворену кутом πk ⁄ n з віссю x.

Малі діедральні групи[ред.]

Циклічний граф Dih₄
a — поворот за годинниковою стрілкою
і b — горизонтальне відбиття.

Для n = 1 ми маємо Dih₁. Такий запис рідко використовується, хіба для рядів, по це дорівнює Z₂. Для n = 2 маємо Dih₂, 4-група Клейна. Це два винятки з усієї серії:

Вони абелеві; для всіх інших значень n група Dih_n не абелева.
Вони не підгрупа симетричної групи S_n, через те, що 2n > n! для цих n.

Циклічні графи діедральних груп містять n-елементий цикл і n 2-елементних циклів. Темна вершина в циклічних графах різних діедральних груп знизу вказує на тотожний елемент, а інші вершини це інші елементи групи. Цикл містить послідовні ступені елементів зв'язаних з нейтральним елементом.