Діедральна група

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Ця сніжинка має діедральну симетрію правильного шестикутника

В математиці, діедральна група це група симетрій правильного багатокутника, яка включає обертання та відбиття.[1] Діедральна група один з найпростіших прикладів скінченних груп, і вони відіграють важливу роль в теорії груп, геометрії та хімії.

Види запису[ред.ред. код]

Існують два види запису діедральних груп пов'язаних із багатокутником з n сторонами. У геометрії група записується Dn, тоді як алгебрі та сама група позначається D2n з метою вказання кількості елементів.

У цій статті, Dn (і іноді Dihn) посилається на симетрії правильного багатокутника з n сторонами.

Визначення[ред.ред. код]

Елементи[ред.ред. код]

Шість осьових симетрій правильного шестикутника

Правильний многокутник з n сторонами має 2n різних симетрій: n обертальних симетрій і n осьових симетрій. Пов'язані обертання і відбиття утворюють діедральну групу Dn. Якщо n непарне, тоді кожна вісь симетрії поєднує середину сторони і протилежу вершину. Якщо n парне, тоді існує n/2 осей симетрій, які поєднують протилежні вершини. Так чи інакше, існує n осей симетрії і 2n елементів у групі симетрій. Відбиття відносно однієї з осей симетрії із наступним відбиттям відносно іншої осі рівноцінно обертанню на подвоєний кут між осями. Наступне зображення показує 16 елементів групи D8 для знаку «Stop»:

Dihedral8.png

Перший рядок показує ефект восьми обертань, другий — восьми відбиттів.

Структура групи[ред.ред. код]

Як і з багатьма геометричними об'єктами, композиція двох симетрій правильного многокутника є симетрією. Ця операція надає симетріям алгебраїчну структуру скінченної групи.

Labeled Triangle Reflections.svg
Поєднання двох відбиттів дає обертання

Наступна таблиця Келі показує наслідки поєднань в групі D3 (симетрій правильного трикутника). R0 позначає тотжність; R1 і R2 позначають обертання на 120 і 240 градусів проти (руху) годинникової стрілки; і S0, S1, і S2 позначають відбиття через три лінії показані на малюнку праворуч.

R0 R1 R2 S0 S1 S2
R0 R0 R1 R2 S0 S1 S2
R1 R1 R2 R0 S1 S2 S0
R2 R2 R0 R1 S2 S0 S1
S0 S0 S2 S1 R0 R2 R1
S1 S1 S0 S2 R1 R0 R2
S2 S2 S1 S0 R2 R1 R0

Наприклад, S2S1 = R1 бо відбиття S1 із наступним відбиттям S2 утворюють обертання на 120 градусів. (Це звичайний зворотний порядок композиції.) Композиція операцій не комутативна.

Загалом, група Dn має елементи R0,...,Rn−1 і S0,...,Sn−1, з композиціями заданами наступними формулами:

R_i\,R_j = R_{i+j},\;\;\;\;R_i\,S_j = S_{i+j},\;\;\;\;S_i\,R_j = S_{i-j},\;\;\;\;S_i\,S_j = R_{i-j}.

В усіх випадках, додавання і віднімання індексів повинно виконуватись із використанням модульної арифметики з модулем n.

Матричне представлення[ред.ред. код]

Симетрії п'ятикутника є лінійними відображеннями.

Якщо ми відцентруємо правильний многокутник в початку координат, тоді елементи діедральної групи діють як лінійні перетворення площини. Це дозволяє представити елементи Dn у вигляді матриць, тоді композиція буде добутком матриць. Це приклад (2-вимірного) представлення групи.

Наприклад, елементи групи D4 можуть бути представлені наступними вісьмома матрицями:

\begin{matrix}
R_0=\bigl(\begin{smallmatrix}1&0\\[0.2em]0&1\end{smallmatrix}\bigr), &
R_1=\bigl(\begin{smallmatrix}0&-1\\[0.2em]1&0\end{smallmatrix}\bigr), &
R_2=\bigl(\begin{smallmatrix}-1&0\\[0.2em]0&-1\end{smallmatrix}\bigr), &
R_3=\bigl(\begin{smallmatrix}0&1\\[0.2em]-1&0\end{smallmatrix}\bigr), \\[1em]
S_0=\bigl(\begin{smallmatrix}1&0\\[0.2em]0&-1\end{smallmatrix}\bigr), &
S_1=\bigl(\begin{smallmatrix}0&1\\[0.2em]1&0\end{smallmatrix}\bigr), &
S_2=\bigl(\begin{smallmatrix}-1&0\\[0.2em]0&1\end{smallmatrix}\bigr), &
S_3=\bigl(\begin{smallmatrix}0&-1\\[0.2em]-1&0\end{smallmatrix}\bigr).
\end{matrix}

Загалом, матрицями для елементів з Dn мають наступний вигляд:

  \begin{align}
           R_k & = \begin{pmatrix}
                       \cos \frac{2\pi k}{n} & -\sin \frac{2\pi k}{n} \\
                       \sin \frac{2\pi k}{n} & \cos \frac{2\pi k}{n}                   \end{pmatrix}
                   \ \ \text{i} \\
           S_k & =  \begin{pmatrix}
                       \cos \frac{2\pi k}{n}  & \sin \frac{2\pi k}{n} \\
                       \sin \frac{2\pi k}{n} & -\cos \frac{2\pi k}{n}                    \end{pmatrix}
                    .
          \end{align}

Rk — матриця повороту, яка уособлює обертання проти годинникової стрілки на кут 2πkn. Sk — відбиття через лінію утворену кутом πkn з віссю x.

Малі діедральні групи[ред.ред. код]

Циклічний граф[en] Dih4
a — поворот за годинниковою стрілкою
і b — горизонтальне відбиття.

Для n = 1 ми маємо Dih1. Такий запис рідко використовується, хіба для рядів, по це дорівнює Z2. Для n = 2 маємо Dih2, 4-група Клейна. Це два винятки з усієї серії:

Циклічні графи[en] діедральних груп містять n-елементний цикл і n 2-елементних циклів. Темна вершина в циклічних графах різних діедральних груп знизу вказує на тотожний елемент, а інші вершини це інші елементи групи. Цикл містить послідовні ступені елементів зв'язаних з нейтральним елементом.

GroupDiagramMiniC2.png
GroupDiagramMiniD4.png
GroupDiagramMiniD6.png
GroupDiagramMiniD8.png
GroupDiagramMiniD10.png
GroupDiagramMiniD12.png
GroupDiagramMiniD14.png
Dih1 Dih2 Dih3 Dih4 Dih5 Dih6 Dih7

Примітки[ред.ред. код]

  1. Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004). Abstract Algebra (вид. 3rd). John Wiley & Sons. ISBN 0-471-43334-9.