Теорія біфуркацій

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Фазовий портрет який демонструє біфуркацію сідло-вузол.

Теорія біфуркацій динамічних систем (від лат. bifurcus — роздвоєння) — це теорія, яка вивчає зміни якісної картини розбиття фазового простору в залежності від зміни одного чи кількох параметрів.

Біфуркація[ред.ред. код]

Біфуркація — зміна якісної поведінки динамічної системи за малої зміни її параметрів.

Центральним поняттям теорії біфуркації є поняття (не)грубої системи. Береться яка-небудь динамічна система і розглядається таке (багато)параметричне сімейство динамічних систем, що вихідна система виходить в якості окремого випадку — за якого-небудь конкретного значення параметра або ж кількох параметрів. Якщо при значенні параметрів, досить близьких до цього, зберігається якісна картина розбиття фазового простору на траєкторії, то така система називається грубою. В іншому випадку, якщо такої області не існує, то система називається негрубою.

Таким чином у просторі параметрів виникають області грубих систем, які розділяються поверхнями, що складаються з негрубих систем. Теорія біфуркацій вивчає залежність якісної картини за безперервної зміни параметра вздовж деякої кривої. Схема, за якою відбувається зміна якісної картини називається біфуркаційною діаграмою.

Методологія[ред.ред. код]

Основні методи теорії біфуркацій — це методи теорії збурень. Зокрема, застосовується метод малого параметру (Понтрягіна).

Біфуркація рівноваги[ред.ред. код]

У механічних системах, як правило, рухи, що встановилися (положення рівноваги або відносної рівноваги) залежать від параметрів. Значення параметрів, при яких спостерігається зміна кількості рівноваг, називаються їх біфуркаційними значеннями. Криві або поверхні, що зображують безлічі рівноваг в просторі станів і параметрів, називаються біфуркаційними кривими або поверхнями. Проходження параметра через біфуркаційні значення, як правило, супроводжується зміною властивостей стійкості рівноваги. Біфуркації рівноваги можуть супроводжуватися народженням періодичних та інших, складніших рухів.

Див. також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]

  1. (рос.) Андронов А. А., Леонтович Е. А., Гордон И. М., Майер А. Г.  Теория бифуркаций динамических систем на плоскости. — М.: Наука, 1967.
  2. (рос.) Баутин Н. Н., Леонтович Е. А.  Методы и приёмы качественного исследования динамических систем на плоскости. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1990. 488 с. (Справочная математическая библиотека.)
  3. (рос.) Четаев Н. Г.  Устойчивость движения. — М.: Наука. 1955.