Інверсія (геометрія)

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Інверсія (від лат. inversio «звернення») відносно кола — перетворення[ru] евклідової площини, що переводить узагальнені кола (кола або прямі) в узагальнені кола, при якому одне з кіл поточково переводиться в себе.

Визначення[ред. | ред. код]

Інверсія

Нехай на евклідовій площині задано деяке коло з центром (що називається полюсом або центром інверсії, ця точка виколота) і радіусом . Інверсія точки щодо є точка , що лежить на промені така, що

Інверсія переводить внутрішню область кола у зовнішню, і назад.

Часто до площини додають «нескінченно віддалену точку» і вважають її інверсним образом , а — інверсним образом . У цьому випадку інверсія є бієктивним перетворенням цієї розширеної «кругової площини[ru]».

Аналогічно визначається інверсія евклідового простору щодо сфери та інверсія в евклідових просторах більш високих розмірностей.

Властивості[ред. | ред. код]

Образ центру кола не є центром образу

Інверсія відносно кола з центром O має такі основні властивості:

  • Інверсія є інволюцією: якщо точка P переходить у точку Q, то і точка Q переходить у точку P.
  • Пряма, що проходить через O, переходить у себе.
  • Пряма, що не проходить через O, переходить у коло, що проходить через O з виколотою точкою O; і навпаки, коло, що проходить через O, переходить у пряму, яка не проходить через O.
  • Коло, яке не проходить через O, переходить у коло, яке не проходить через O (при цьому образ його центру не є центром образу).
  • Інверсія є конформним відображенням другого роду (тобто вона зберігає кути між кривими і змінює орієнтацію).
  • Коло або пряма, перпендикулярна до , переходить у себе.

Побудова[ред. | ред. код]

Побудова образу точки при інверсії щодо кола

Отримати образ P' точки P при інверсії відносно даної окружності з центром O можна таким чином[1]:

  • Якщо відстань від P до O більша, ніж радіус кола — провести з P дотичну до кола, тоді перпендикуляр до прямої OP з точки дотику перетне цю пряму в шуканій точці P'
  • Якщо відстань від P до O менша, ніж радіус кола — провести через P перпендикуляр до OP, а через точку його перетину з колом — дотичну до нього, яка перетне OP в шуканій точці P'
  • Якщо відстань від P до O дорівнює радіусу кола, образ P збіжиться з нею самою.

Координатні подання[ред. | ред. код]

Декартові координати[ред. | ред. код]

Інверсія відносно одиничного кола з центром у початку координат задається співвідношенням

.

Якщо точку площини задати однієї комплексною координатою , то цей вираз можна подати у вигляді

,

де комплексно спряжене число для . Дана функція комплексної змінної є антиголоморфною, звідки, зокрема, слідує конформність інверсії.

У загальному випадку інверсія щодо кола з центром у точці і радіусом задається співвідношенням

.

Полярні координати[ред. | ред. код]

Інверсія відносно кола радіусом з центром у початку координат задається співвідношенням

.

Застосування[ред. | ред. код]

Варіації та узагальнення[ред. | ред. код]

Інверсія відносно конічного перерізу[ред. | ред. код]

Можна визначити інверсію щодо довільного невиродженого конічного перетину, з тією лише різницею, що величина буде (змінною) відстанню від центра відповідної кривої (у випадку еліпса і гіперболи) до точок перетину цієї кривої з прямою .

У разі інверсії відносно гіперболи, залежно від сектора, в якому знаходиться точка між асимптотами, можливий випадок, коли пряма не перетинається з гіперболою. Тоді для обчислення береться точка перетину цієї прямої зі спряженою гіперболою (якщо тільки точка не лежить на асимптоті), а відповідна величина береться зі знаком мінус, тобто промінь спрямовується в бік, протилежний до променя .

Інверсія відносно параболи — це просто симетричне відображення відносно неї вздовж прямої, паралельної осі параболи.

Альтернативне визначення — інверсія відносно конічного перерізу як середина хорди, що відтинається полярою точки відносно на . Однак у випадку, коли відповідна поляра не перетинає для повноти визначення доводиться застосовувати це, часткове, визначення у "зворотному напрямку" ( — це така точка, що є серединою хорди, яку відтинає поляра на ), що не завжди зручно.

Примітки[ред. | ред. код]

  1. Погорелов А. В. Геометрия. — М. : Наука, 1983. — С. 41—42.
  2. Жижилкин, 2009.
  3. Курант, 2000.

Посилання[ред. | ред. код]