Перейти до вмісту

Невизначений інтеграл

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Неви́значений інтегра́л для функції f — це сукупність усіх первісних цієї функції.

Завдання диференціального числення — обчислення похідної від заданої функції y = f(x). Завдання інтегрального числення протилежне: потрібно визначити функцію, похідна від якої відома. Основоположними поняттями інтегрального числення, є поняття первісної та невизначеного інтегралу.

Застосування невизначених інтегралів

[ред. | ред. код]

Невизначений інтеграл

[ред. | ред. код]
Невизначеним інтегралом від функції f(x)=2x є сукупність її первісних x²+C, де C — довільна стала
Означення. Нехай функція F — первісна для f на J. Невизначеним інтегралом від функції f називається сукупність усіх первісних цієї функції, тобто вираз

де C ∈ R — довільна стала.

Функція f називається підінтегральною функцією, f(x)dx — підінтегральним виразом, C  — сталою інтегрування, x — змінною інтегрування.

З геометричної точки зору, невизначений інтеграл — це сукупність (сімейство) ліній F(x) + C (див. Рис.).

Властивості невизначеного інтеграла

[ред. | ред. код]

З означень первісної та невизначеного інтеграла випливають наступні властивості (за умов існування первісних та похідних на інтервалі J):


Методи обчислення невизначених інтегралів

[ред. | ред. код]

Для обчислення невизначених інтегралів використовуються

За допомогою згаданих методів можна обчислювати невизначені інтеграли у вигляді скінченних комбінацій елементарних функцій. Проте, не всі інтеграли можна виразити через елементарні функції. Відомо небагато класів функцій, інтегрування яких, у підсумку дає елементарні функції. До цих класів відносяться раціональні, тригонометричні, показникові функції та функції з радикалами.

Якщо ж інтеграл не можна виразити скінченною комбінацією елементарних функцій, тоді його розглядають як нову функцію (яка є інтегралом Рімана зі змінною верхнею межею інтегрування) і обчислюють за допомогою рядів або нескінченних добутків елементарних функцій.[1]

Так, наприклад, інтеграли

існують, проте через елементарні функції не виражаються.

Див. також

[ред. | ред. код]

Література

[ред. | ред. код]

Примітки

[ред. | ред. код]
  1. Детальніше див. Гл. 8 в Дороговцев А. Я. Математический анализ. — К. : Факт, 2004. — 560с.