Клин (геометрія)
Клин | |
---|---|
![]() | |
Властивості | Опуклий |
Елементи | 6 граней 9 ребер 6 вершин (3-го степеня) |
Характеристика Ейлера |
|
Грані | 2 трикутники 3 трапеції |
Клин у геометрії (англ. wedge) — це опуклий багатогранник, що складається з п'яти граней: двох трикутників і трьох трапецій . Клин має 9 ребер і 6 вершин. Верхнє ребро клину паралельне основі.
Клин є підкласом призматоїдів, якщо розглядати верхнє ребро як вироджену грань (у призматоїдів дві грані є паралельними).
Порівняння з іншими багатогранниками:
- Якщо одна грань паралелепіпеда вироджується у відрізок, отримається клин.
- Піраміда, основа якої — трапеція (зокрема і паралелогам, прямокутник, квадрат) є клином, в якому одне з ребер вироджене в точку.
- Клин можна розглядати як трикутну зрізану призму.
- Трикутна призма є окремим випадком клина з двома паралельними трикутними гранями.
Вид клина | Грані | Зображення | Опис |
---|---|---|---|
Правильний клин (правильногранний клин) | 3 квадрата 2 правильних трикутника |
![]() |
клин, всі грані якого — правильні багатокутники, всі ребра — однакової довжини. Багатогранник можна розглядати як правильну трикутну призму. Симетрія: D3h[en], [3,2], (*223) порядок 12 (Діедральна симетрія 3-призми) Має вісь симетрії 3-го порядку та три осі симетрії 2-го порядку; чотири площини симетрії. Також цей клин можна вважати «двосхилим куполом» (купол відрізка і квадрата). |
Прямий клин | Основа: 1 прямокутник Бокові грані: |
![]() |
клин, основа якого — прямокутник (зокрема і квадрат), а бокові грані прямокутники та рівнобедрені трикутники. Трикутні грані перпендикулярні до основи. Багатогранник можна розглядати як пряму трикутну призму з основою- рівнобедрений трикутник. Має вісь симетрії 2-го порядку; дві площини симетрії. Також цей клин можна вважати «двосхилим куполом» (купол відрізка і прямокутника). |
Скошений прямий клин | Основа: 1 прямокутник Бокові грані: |
![]() |
клин, основа якого — прямокутник (зокрема і квадрат), а бокові грані рівнобедрені трапеції та рівнобедрені трикутники.
Трикутні грані однаково нахилені до основи. |

Об'єм довільного клина можна обрахувати за фомулою об'єма для двічі скошеної прямої трикутної призми[1] :
де , , — довжини паралельних ребер клина.
— площа перерізу, перпендикулярного до цих ребер.

Для скошеного прямого клина справедливі формули:
Об'єм:
- (формула справедлива для будь-якого клина з прямокутною основою.)
Площа поверхні:
Центр тяжіння лежить на осі клина на відстані від його основи.
тут , — довжини ребер прямокутної грані клина.
— довжина верхнього (апексного) ребра, паралельного основі.
— висота, відстань від верхнього ребра клина до його основи.
Для прямого клина (при ) формули спрощуються до:
,
,
Клини можна отримати розрізанням інших багатогранників. Наприклад, додекаедр можна розбити на центральный куб і 6 прямих клинів з квадратною основою, що покривають грані куба. Орієнтації клинів обираються так, що трикутні і трапецевидні грані сполучаються й утворюють правильні п'ятикутники.
Два тупих клини можна отримати при розрізанні навпіл правильного тетраедра площиною, яка є паралельною до двох протилежних сторін.
![]() Трикутна призма (Паралельний трикутний клин) |
![]() Тупокутний клин як зрізаний наполовину правильний тетраедр |
![]() Клин, побудований з 8-ми трикутних граней і 2-х квадратів. Його можна розглядати як тетраедр, нарощений двома квадратними пірамідами. |
![]() Додекаедр можна роскласти на центральний куб і 6 клинів на його 6-ти квадратних гранях. |

Обеліск (Зрізаний прямий клин)[2]– багатогранник у якого нижня та верхня основи є прямокутниками, розташованими в паралельних площинах; протилежні бічні грані (конгруентні рівнобедрені трапеції) однаково нахилені до основи, але не перетинаються.
Об'єм багатогранника можна обрахувати за формулою:
- Harris, J. W., Stocker, H. §4.5.2 Wedge // Handbook of Mathematics and Computational Science. — New York : Springer, 1998. — С. 102. — ISBN 978-0-387-94746-4.
- George R. Perkins: Plane and Solid Geometry. Appleton & Co, New York, 1854, S. 115
- ↑ Понарин Я. П. (2006). Элементарная геометрия: В 2 т. — Т. 2: Стереометрия, преобразования пространства (рашистська) . Москва: Издательство МЦНМО. с. с.100. ISBN 5-94057-223-5.
{{cite book}}
:|pages=
має зайвий текст (довідка) - ↑ Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. (1981). Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов (рашистська) . Москва: Наука. с. 222.