Клин (геометрія)

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку
Клин
Властивості Опуклий
Елементи 6 граней
9 ребер
6 вершин (3-го степеня)
Характеристика Ейлера

Грані 2 трикутники
3 трапеції

Клин у геометрії (англ. wedge) — це опуклий багатогранник, що складається з п'яти граней: двох трикутників і трьох трапецій . Клин має 9 ребер і 6 вершин. Верхнє ребро клину паралельне основі.

Клин є підкласом призматоїдів, якщо розглядати верхнє ребро як вироджену грань (у призматоїдів дві грані є паралельними).

Порівняння з іншими багатогранниками:

  • Якщо одна грань паралелепіпеда вироджується у відрізок, отримається клин.
  • Піраміда ,основа якої - трапеція (зокрема і паралелогам, прямокутник, квадрат) є клином, в якому одне з ребер вироджене в точку.
  • Клин можна розглядати як трикутну зрізану призму.
  • Трикутна призма є окремим випадком клина з двома паралельними трикутними гранями.



Часткові випадки[ред. | ред. код]

Вид клина Грані Зображення Опис
Правильний клин (правильногранний клин) 3 квадрата
2 правильних трикутника
- клин, всі грані якого - правильні багатокутники, всі ребра - однакової довжини.
Багатогранник можна розглядати як правильну трикутну призму.
Симетрія: D3h[en], [3,2], (*223) порядок 12
(Діедральна симетрія 3-призми)

Має вісь симетрії 3-го порядку та три осі симетрії 2-го порядку; чотири площини симетрії.

Також цей клин можна вважати «двосхилим куполом» (купол відрізка і квадрата).

Прямий клин Основа:
1 прямокутник

Бокові грані:
2 прямокутника,
2 рівнобедрених трикутника

- клин, основа якого - прямокутник (зокрема і квадрат), а бокові грані прямокутники та рівнобедрені трикутники.
Трикутні грані перпендикулярні до основи.
Багатогранник можна розглядати як пряму трикутну призму з основою- рівнобедрений трикутник.
Має вісь симетрії 2-го порядку; дві площини симетрії.

Також цей клин можна вважати «двосхилим куполом» (купол відрізка і прямокутника).

Скошений прямий клин Основа:
1 прямокутник

Бокові грані:
2 рівнобедрених трапеції,
2 рівнобедрених трикутника

- клин, основа якого - прямокутник (зокрема і квадрат), а бокові грані рівнобедрені трапеції та рівнобедрені трикутники.

Трикутні грані однаково нахилені до основи.
Має вісь симетрії 2-го порядку; дві площини симетрії.

Формули[ред. | ред. код]

Двічі скошена пряма трикутна призма

Об'єм довільного клина можна обрахувати за фомулою об'єма для двічі скошеної прямої трикутної призми [1] :

де , , - довжини паралельних ребер клина.
- площа перерізу, перпендикулярного до цих ребер.


Скошений прямий клин

Для скошеного прямого клина справедливі формули:

Об'єм:

(формула справедлива для будь-якого клина з прямокутною основою.)

Площа поверхні:

Центр тяжіння лежить на осі клина на відстані від його основи.

тут , - довжини ребер прямокутної грані клина.
- довжина верхнього (апексного) ребра, паралельного основі.
- висота, відстань від верхнього ребра клина до його основи.

Для прямого клина (при ) формули спрощуються до:

,

,

Приклади[ред. | ред. код]

Клини можна отримати розрізанням інших багатогранників. Наприклад, додекаедр можна розбити на центральный куб і 6 прямих клинів з квадратною основою, що покривають грані куба. Орієнтації клинів обираються так, що трикутні і трапецевидні грані сполучаються й утворюють правильні п'ятикутники.

Два тупих клини можна отримати при розрізанні навпіл правильного тетраедра площиною, яка є паралельною до двох протилежних сторін.

Особливі випадки

Трикутна призма
(Паралельний трикутний клин)

Тупокутний клин як зрізаний наполовину правильний тетраедр

Клин, побудований з 8-ми трикутних граней і 2-х квадратів. Його можна розглядати як тетраедр, нарощений двома квадратними пірамідами.

Додекаедр можна роскласти на центральний куб і 6 клинів на його 6-ти квадратних гранях.

Пов'язані багатогранники[ред. | ред. код]

Обеліск

Обеліск (Зрізаний прямий клин) [2]– багатогранник у якого нижня та верхня основи є прямокутниками, розташованими в паралельних площинах; протилежні бічні грані (конгруентні рівнобедрені трапеції) однаково нахилені до основи, але не перетинаються.

Об'єм багатогранника можна обрахувати за формулою:



Джерела[ред. | ред. код]

  • Harris, J. W., Stocker, H. §4.5.2 Wedge // Handbook of Mathematics and Computational Science. — New York : Springer, 1998. — С. 102. — ISBN 978-0-387-94746-4.
  • George R. Perkins: Plane and Solid Geometry. Appleton & Co, New York, 1854, S. 115

Посилання[ред. | ред. код]

  • Weisstein, Eric W. Wedge(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.

Примітки[ред. | ред. код]

  1. Понарин Я. П. (2006). Элементарная геометрия: В 2 т. — Т. 2: Стереометрия, преобразования пространства. (рашистська). Москва: Издательство МЦНМО. с. с.100. ISBN 5-94057-223-5. 
  2. Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. (1981). Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов (рашистська). Москва: Наука. с. 222.