Рівнобічна трапеція

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку
Рівнобічна трапеція з вісю симетрії.

Рівнобічна трапеція або рівнобедрена трапеція[1], в геометрії Евкліда, це опуклий чотирикутник з лінією симетрії, що ділить навпіл одну пару протилежних сторін. У будь-якій рівнобічній трапеції дві протилежні сторони (основи) паралельні, а дві інші сторони (ребра) мають однакову довжину (Таку ж властивість має паралелограм). Діагоналі також однакової довжини. Кути при основі рівнобедреної трапеції рівні (в дійсності існують дві пари рівних кутів при основі, де один кут при основі є суміжним кутом для іншого базового, при іншій основі).

Рівнобічна трапеція є окремим випадком трапеції.

Окремі випадки[ред. | ред. код]

Окремі випадки рівнобедреної трапеції

Прямокутники та квадрати зазвичай вважають окремими випадками рівнобедреної трапеції, але деякі джерела виключають їх. Іншим окремим випадком є трапеція з трьома рівними сторонами, часом також відома як тристороння трапеція. Вона може також розглядатися як відрізана частина з правильного багатокутника з 5 сторонами або більшою кількістю сторін, від якого відсікаються 4 послідовні вершини.

Самоперетини[ред. | ред. код]

Будь-який чотирикутник без самоперетинів та з лише однією віссю симетрії повинен бути або рівнобедреною трапецією або дельтоїдом. Проте, якщо допускаються перетини сторін, то множина симетричних чотирикутників повинна бути розширена за рахунок включення також рівнобедрених трапецій з перетинами та чотирикутниками з перетинами, у яких схрещені сторони мають однакову довжину, а інші сторони паралельні, і антипаралелограми — перехрещенні чотирикутниками, в яких протилежні сторони мають рівну довжину.

Кожен антипаралелограм має рівнобедрену трапецію, як його опуклу оболонку, і може бути утворений з діагоналей і непаралельних сторін рівнобедреної трапеції.


Isosceles trapezoid example.png Crossed isosceles trapezoid.png Antiparallelogram.svg
Опукла рівнобедрена
трапеція
Рівнобедрена трапеція, що
перетинається
Антипаралелограм

Властивості[ред. | ред. код]

Якщо відомо, що чотирикутник є трапецією, то не варто перевіряти, що ребра однакової довжини для того, щоб гарантувати, що це рівнобедрена трапеція (взагалі це не так, так як ромб є окремим випадком трапеції з ребрами однакової довжини, але не є рівнобедреною трапецією, тому що в ньому відсутня лінія симетрії, яка проходить через середини протилежних сторін); для того, щоб виокремити рівнобедрену трапецію серед трапецій достатньо щоб виконувалась якась одна умова з нижче наведених:

  • Діагоналі мають однакову довжину.
  • Кути при основі мають однакову міру.
  • Відрізок, який з'єднує середини паралельних сторін перпендикулярний до основ.
  • Протилежні кути є суміжними, що в свою чергу означає, що рівнобедрені трапеції є вписаними чотирикутниками.
  • Діагоналі ділять одна одну на відрізки з попарно рівними довжинами; з точки зору малюнку, наведеного нижче, AE = DE, BE = CE (додаткова умова AECE дозволяє виключити прямокутники).

Якщо прямокутники включені в клас трапецій, то можна стисло визначити рівнобедрену трапецію як «вписаний чотирикутник з рівними діагоналями»,[2] або як «вписаний чотирикутник з парою паралельних сторін» або як «опуклий чотирикутник з лінією симетрії, що проходить через середини протилежних сторін».

Кути[ред. | ред. код]

У рівнобедреної трапеції кути при основі попарно однакові. На малюнку нижче кути ∠ABC ,та∠DCB є тупими кутами однакової величини, в той час як кути ∠BAD та ∠CDA — гострі кути, також однакової величини. Так як лінії AD та BC паралельні, то кути, прилеглі до протилежних основ є суміжними, тобто кути ABC + ∠BAD = 180°.

Діагоналі та висоти[ред. | ред. код]

Ще одна рівнобедрена трапеція.

Діагоналі рівнобедреної трапеції мають однакову довжину, тобто кожна рівнобедрена трапеція є чотирикутником з рівними діагоналями[en]. Як видно на зображенні, діагоналі AC і BD мають однакову довжину (AC = BD) і ділять одна одну на відрізки однакової довжини (AE = DE та BE = CE). Відношення в якому кожна діагональ ділиться, дорівнює відношенню довжин паралельних сторін, які вони перетинають

Довжина кожної діагоналі, відповідно до теореми Птолемея, розраховується за формулою:

Де а і b — довжини паралельних сторін AD і BC, і c — довжина кожної з бічних сторін AB та CD. Висота, відповідно до теореми Піфагора, розраховується за формулою:

Відстань від точки Е до основи AD розраховується за формулою:

Де а і b — довжини паралельних сторін AD і BC, і h — висота трапеції .

Площа рівнобічної трапеції[ред. | ред. код]

Площа рівнобедреної (як і будь-якої) трапеції дорівнює середній лінії помноженій на висоту. На малюнку праворуч, якщо записати AD = a, та BC = b, і висота h є довжиною відрізка прямої між AD і BC, яка перпендикулярна до них, тоді площа K знаходиться так:

Якщо замість висоти трапеції, відома довжина бічної сторони AB =CD = c, то площа може бути обчислена з використанням формули Брахмагупти для площі вписаного чотирикутника, яка у випадку двох рівних сторін спрощується до:

де  — півпериметр трапеції. Ця формула аналогічна формулі Герона для обчислення площі трикутника. Попередня формула для площа також може бути записана у вигляді:

Описане коло[ред. | ред. код]

Радіус описаного кола розраховується за формулою:[3]

У прямокутнику, a = b, і вираз спрощується до: .

Примітки[ред. | ред. код]

  1. Геометрія для загальноосвітніх навчальних закладів з поглибленим вивченням математики: підруч. для 8 кл./ А. Г. Мерзляк, В. Б. Полонський, М. С. Якір. Х.: Гімназія, 2016. стор. 56.
  2. Mzone.mweb.co.za
  3. Trapezoid at Math24.net: Formulas and Tables [1] Accessed 1 July 2014.

Див. також[ред. | ред. код]

Описана трапеція[en]