П'ятикутник

П'ятикутник — планіметрична фігура, многокутник, що має п'ять сторін, п'ять вершин та п'ять кутів. Сума внутрішніх кутів п'ятикутника дорівнює 540°.

$\sum {\alpha =}(n-2)\cdot 180^{\circ }=3\cdot 180^{\circ }=540^{\circ }$$\sum {\alpha =}(n-2)\cdot 180^{\circ }=3\cdot 180^{\circ }=540^{\circ }$

Властивості

Виведення формули площі

Площа довільного правильного многокутника дорівнює:

$A={\frac {1}{2}}Pa$$A={\frac {1}{2}}Pa$

де P — периметр многокутника, a — апофема. Підставляючи відповідні значення параметрів P та a, отримуємо формулу:

$A={\frac {1}{2}}\times {\frac {5t}{1}}\times {\frac {t\tan(54^{\circ })}{2}}$$A={\frac {1}{2}}\times {\frac {5t}{1}}\times {\frac {t\tan(54^{\circ })}{2}}$

з $t$$t$ відома довжина бічної сторони. Можна подати формулу в вигляді:

$A={\frac {1}{2}}\times {\frac {5t^{2}\tan(54^{\circ })}{2}}={\frac {5t^{2}\tan(54^{\circ })}{4}}$$A={\frac {1}{2}}\times {\frac {5t^{2}\tan(54^{\circ })}{2}}={\frac {5t^{2}\tan(54^{\circ })}{4}}$

Виведення формули діагональної довжини

Діагоналі правильного многокутника ( далі по тексту D) можна обчислити знаючи золоте значення $\phi$$\phi$ і відому довжину бічної сторони.

${\frac {D}{T}}=\varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\ ,$${\frac {D}{T}}=\varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\ ,$

Відповідно:

$D=T\times \varphi \ .$$D=T\times \varphi \ .$

Метод побудови

Відомо багато методів побудови правильного п'ятикутника. Деякі з них наведено нижче.

Метод Річмонда

Один метод побудови правильного п'ятикутника в заданому колі виглядає наступним чином:

Побудова правильного п'ятикутника

Альтернативний метод

Альтернативний метод:

Побудова п'ятикутника

Анімація

П'ятикутники в природі

Рослини

• 

  П'ятикутний переріз окри.

• 

  Квітка ранковий німб, як і багато інших квітів має п'ятикутну форму.

• 

  Маточка яблука містить п'ять плодолистків, що утворюють п'ятикутну зірку

• 

  Карамболя ще один приклад п'ятірчастої симетрії.

Тварини

• 

  Морська зірка. Багато голкошкірих мають п'ятірчасту радіальну симетрію.

• 

  Ілюстрація змієхвістки, також голкошкірого організму з п'ятикутною формою.

Див. також

• Правильний п'ятикутник
• Пентагон
• Пентаграма

Примітки

Це незавершена стаття з математики. Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її.