Купол (геометрія)

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку
П'ятикутний купол (приклад)
П'ятикутний купол
Тип Множина куполів
Символ Шлефлі {n} || t{n}
Граней n трикутників,
n квадратів,
1 n-кутник,
1 2n-кутник
Ребер 5n
Вершин 3n
Група симетрії Cnv, [1,n], (*nn), порядок 2n
Група поворотів Cn, [1,n]+, (nn), порядок n
Дуальний многогранник ?
Властивості опуклий

Ку́пол — тіло, утворене з'єднанням двох багатокутників, у якому один (основа) має вдвічі більше сторін, порівняно з іншим (верхньою гранню). З'єднання багатокутників здійснюється рівнобедреними трикутниками і прямокутниками. Якщо трикутники правильні, а прямокутники є квадратами, тоді як основа і верхня грань є правильними багатокутниками, купол є багатогранником Джонсона. Ці куполи, трисхилий, чотирисхилий і п'ятисхилий, можна отримати, взявши зрізи кубооктаедра, ромбокубооктаедра і ромбоікосододекаедра відповідно.

Купол можна розглядати як призму, де один з багатокутників наполовину стягнуто попарним об'єднанням вершин.

Купола можна приписати розширений символ Шлефлі {n} || t{n}, що описує правильний багатокутник {n}, з'єднаний з паралельною йому зрізаною копією, t{n} або {2n}.

Куполи є підкласом призматоїдів.

Приклади[ред. | ред. код]

Сімейство опуклих куполів
n 2 3 4 5 6
Назва Двосхилий купол Трисхилий купол Чотирисхилий купол П'ятисхилий купол Шестисхилий купол
(плоский)
Символ Шлефлі {2} || t{2} {3} || t{3} {4} || t{4} {5} || t{5} {6} || t{6}
Купол Triangular prism wedge.png Triangular cupola.png Square cupola.png Pentagonal cupola.png Hexagonal cupola flat.png
Пов'язані
однорідні
багатогранники
Трикутна призма
CDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
Кубооктаедр
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
Ромбокубо-
октаедр

CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
Ромбоікосо-
додекаедр

CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
Ромботри-
шестикутна
мозаїка
[en]
CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png

Згадані вище три багатогранники є нетривіальними опуклими куполами з правильними гранями. «Шестисхилий купол» є плоскою фігурою, а трикутну призму можна вважати «двосхилим куполом» (купол відрізка і квадрата). Однак куполи з більшим числом сторін багатокутників можна побудувати тільки з неправильними трикутними і прямокутними гранями.

Координати вершин[ред. | ред. код]

Визначення купола не вимагає правильності основи і верхньої грані, але зручно розглядати випадки, в яких куполи мають максимальну симетрію, Cnv. В цьому випадку верхня грань є правильним n-кутником, тоді як основа є правильним 2n-кутником, або 2n-кутником з двома різними довжинами сторін (через одну) і тими ж кутами, що й у правильного 2n- кутника. Зручно розташувати купол у координатній системі так, щоб його основа лежала в площині xy з верхньою гранню, яка паралельна цій площині. Вісь z є віссю симетрії порядку n, дзеркальні площини проходять через цю вісь і ділять сторони основи навпіл. Вони також поділяють навпіл сторони або кути верхньої грані, або і те, й інше. (Якщо n парне, половина дзеркал ділить навпіл сторони, половина — кути. Якщо ж n непарне, кожне дзеркало ділить навпіл одну сторону і один кут верхньої грані). Пронумеруємо вершини основи числами від V1 до V2n, а вершини верхньої грані — числами від V2n+1 до V3n. Координати вершин тоді можна записати таким чином:

  • V2j-1: (rb cos[2π(j − 1) / n + α], rb sin[2π(j − 1) / n + α], 0)
  • V2j: (rb cos(2πj / n − α), rb sin(2πj / n − α), 0)
  • V2n+j: (rt cos(πj / n), rt sin(πj / n), h), де j = 1, 2, …, n.

Оскільки багатокутники V1V2V2n+2V2n+1, і т. д. є прямокутниками, на значення rb, rt і α накладаються обмеження. Відстань V1V2 дорівнює

rb{[cos(2π / n − α) − cos α]2 + [sin(2π / n − α) − sin α]2}12
= rb{[cos2(2π / n − α) − 2cos(2π / n − α)cos α + cos2 α] + [sin2(2π / n − α) − 2sin(2π / n − α)sin α + sin2 α]}12
= rb{2[1 − cos(2π / n − α)cos α − sin(2π / n − α)sin α]}12
= rb{2[1 − cos(2π / n − 2α)]}12

а відстань V2n+1V2n+2 дорівнює

rt{[cos(π / n) − 1]2 + sin2(π / n)}12
= rt{[cos2(π / n) − 2cos(π / n) + 1] + sin2(π / n)}12
= rt{2[1 − cos(π / n)]}12.

Вони мають бути рівними, так що, якщо це спільне ребро має довжину s,

rb = s / {2[1 − cos(2π / n − 2α)]}12
rt = s / {2[1 − cos(π / n)]}12

І ці значення слід підставити в наведені вище формули для вершин.

Зірчасті куполи[ред. | ред. код]

Сімейство зірчастих куполів
n / d 4 5 7 8
3 Crossed square cupola.png
{4/3}
Crossed pentagrammic cupola.png
{5/3}
Heptagrammic cupola.png
{7/3}
Octagrammic cupola.png
{8/3}
5 Crossed heptagrammic cupola.png
{7/5}
Crossed octagrammic cupola.png
{8/5}
Сімейство зірчастих куполоїдів
n / d 3 5 7
2 Tetrahemihexahedron.png
Перехрещений трикутний куполоїд
Pentagrammic cuploid.png
Пентаграмний куполоїд
Heptagrammic cuploid.png
Гептаграмний куполоїд
4 Crossed pentagonal cuploid.png
Перехрещений пентаграмний куполоїд
Crossed heptagrammic cuploid.png
Перехрещений гептаграмний куполоїд

Зірчасті куполи існують для всіх основ {n/d}, де 6/5 < n/d < 6 і d непарне. На границях куполи перетворюються на плоскі фігури. Якщо d парне, нижня основа {2n/d} вироджується — ми можемо утворити куполоїд або напівукупол шляхом видалення цієї виродженої грані і дозволивши трикутникам і квадратам з'єднуватися один з одним. Зокрема, тетрагемігексаедр можна розглядати як {3/2}-куполоїд. Усі куполи орієнтовані[en], тоді як всі куполоїди неорієнтовані. Якщо в куполоїда n/d > 2, трикутники і квадрати не покривають всю основу і на ній залишається тоненька перетинка, яка просто закриває отвір. Таким чином, куполоїди {5/2} і {7/2} на малюнку вище мають перетинки (не заповнені), тоді як куполоїди {5/4} і {7/4} їх не мають.

Висота h купола {n/d} або куполоїда задається формулою

.

Зокрема, h = 0 на границях n/d = 6 та n/d = 6/5, і h максимальне при n/d = 2 (трикутна призма, де трикутники розташовані вертикально)[1][2].

На малюнках вище зірчасті куполи показано в кольорах, щоб підкреслити їх грані — грань n/d-кутника показано червоним, грань 2n/d-кутника показано жовтим, квадрати подано синім кольором, а трикутники — зеленим. Куполоїди мають червоні n/d-кутні грані, жовті квадратні грані, а трикутні грані пофарбовано в блакитний колір, другу ж основу видалено.

Гіперкуполи[ред. | ред. код]

Гіперкуполи або багатогранні куполи — це сімейство опуклих неоднорідних чотиривимірних багатогранників, аналогічних куполам. Основами кожного такого багатогранника є правильний багатогранник (тривимірний) і його розтягнення [3].

В таблиці використовується поняття сегментогранник (англ. Segmentochora) — це фігура, що задовольняє таким властивостям:

1. всі вершини розташовані на одній гіперсфері
2. всі вершини розташовані на двох паралельних гіперплощинах
3. всі ребра мають довжину 1

У площині існує два сегментогранники (сегментокутники) — правильний трикутник і квадрат.

У 3-вимірному просторі до них належать піраміди, призми, антипризми, куполи.

Назва Тетраедральний купол[en] Кубічний купол[en] Октаедральний купол[en] Декаедральний купол[en] Шестикутний мозаїчний купол[en]
Символ Шлефлі {3,3} ∨ rr{3,3} {4,3} ∨ rr{4,3} {3,4} ∨ rr{3,4} {5,3} ∨ rr{5,3} {6,3} ∨ rr{6,3}
Індекс
сегментогранника [3]
K4.23 K4.71 K4.107 K4.152
Радіус
описаного кола
1 sqrt((3+sqrt(2))/2)
= 1.485634
sqrt(2+sqrt(2))
= 1.847759
3+sqrt(5)
= 5.236068
Малюнок 4D Tetrahedral Cupola-perspective-cuboctahedron-first.png 4D Cubic Cupola-perspective-cube-first.png 4D octahedral cupola-perspective-octahedron-first.png Dodecahedral cupola.png
Головні комірки Uniform polyhedron-33-t0.pngUniform polyhedron-33-t02.png Uniform polyhedron-43-t0.pngUniform polyhedron-43-t02.png Uniform polyhedron-43-t2.pngUniform polyhedron-43-t02.png Uniform polyhedron-53-t0.pngUniform polyhedron-53-t02.png Uniform tiling 63-t0.pngUniform tiling 63-t02.png
Вершин 16 32 30 80
Ребер 42 84 84 210
Граней 42 24 {3} + 18 {4} 80 32 {3} + 48 {4} 82 40 {3} + 42 {4} 194 80 {3} + 90 {4} + 24 {5}
Комірок 16 1 тетраедр
4 трикутні призми
6 трикутних призм
4 трикутні призми
1 кубооктаедр
28 1 куб
6 квадратних призм
12 трикутних призм
8 трикутних пірамід
ромбокубооктаедр
28 1 октаэдр
8 трикутних призм
12 трикутних призм
6 квадратних пірамід
ромбокубооктаедр
64 1 додекаедр
12 п'ятикутних призм
30 трикутних призм
20 трикутних пірамід
ромбоікосододекаедр
1 шестикутна мозаїка
∞ шестикутних призм
∞ трикутних призм
∞ трикутних пірамід
1 ромботришестикутна мозаїка
Пов'язані
однорідні
4-вимірні
багатогранники
Рансінований 5-комірник[en]
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
Рансінований тесеракт[en]
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
Рансінований 24-комірник[en]
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
Рансінований 120-комірник[en]
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
Рансінований шестикутний мозаїчний стільник[en]
CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png

Примітки[ред. | ред. код]

Література[ред. | ред. код]

  • N.W. Johnson[en]. Convex Polyhedra with Regular Faces // Canad. J. Math. — 1966. — Вип. 18 (8 жовтня). — С. 169–200.
  • Dr. Richard Klitzing. Convex Segmentochora. — Symmetry: Culture and Science. — 2000. — Т. 11. — С. 139-181.

Посилання[ред. | ред. код]