Многочлен поділу кола

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Многочлен поділу коламногочлен, що має вигляд:

де первісні корені степеня n з одиниці і добуток береться по всіх таких коренях. Степінь многочлена — кількість натуральних чисел, менших, ніж n, і взаємно простих з n.

Властивості[ред.ред. код]

Многочлени поділу кола задовольняють співвідношенню:

де добуток береться по всіх додатних дільниках d числа n, включаючи і саме n. Це співвідношення дозволяє рекурсивно обчислювати многочлени шляхом ділення многочлена на добуток всіх :

При цьому коефіцієнти многочлена належать початковому полю P,а у випадку поля раціональних чисел — коефіцієнти є цілими числами.

Якщо n=pm — степінь простого числа і характеристика поля P рівна нулю то:

Зокрема для m = 1:

Для многочлена можна подати явну формулу через функцію Мебіуса μ:

Наприклад:

Над полем раціональних чисел всі многочлени є незвідними[1], але над скінченними полями ці многочлени можуть розкладатися на множники. Так, над полем лишків по модулю 11 виконується рівність:

Рівняння ділення кола[ред.ред. код]

Рівняння , що дає всі первісні корені степеня n з одиниці, називаються рівнянням ділення кола. У випадку числових полів рішення цього рівняння в тригонометричній формі має вигляд:

де дріб нескоротний, тобто k і n — взаємно прості. Розв'язок в радикалах рівняння ділення кола тісно пов'язано із задачею побудови правильного n-кутника або з еквівалентною їй задачею ділення кола на n рівних частин, а саме, завдання ділення кола на n частин розв'язується за допомогою циркуля і лінійки тоді і тільки тоді, коли рівняння розв'язується в квадратних радикалах.

Приклади[ред.ред. код]

Примітки[ред.ред. код]

  1. Для доведення див. Е.Артін, Теорія Галуа ст. 64-66

Джерела[ред.ред. код]