Парадокс Буралі-Форті

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

В теорії множин парадокс Буралі-Форті демонструє, що припущення про існування множини всіх порядкових чисел веде до суперечностей і, отже, суперечливою є теорія, в якій побудова такої множини можлива.

Формулювання[ред.ред. код]

У математичній літературі зустрічаються різні формулювання, що спираються на різну термінологію і можливий набір відомих теорем. Ось одне з можливих формулювань.

Припустимо, що - множина усіх порядкових чисел, тоді множина-сума ∑() зберігає властивості порядкового числа і є порядковим числом. Уявімо деяке число ∑() + 1; тоді (∑() + 1) > ∑(). Проте оскільки ∑() є порядковим числом і зберігає властивості порядкових чисел, то ∑() + 1 є елементом , а отже (∑() + 1) < ∑(). Це твердження суперечить встановленій нами раніше нерівності (∑() + 1) > ∑(), тому усе твердження є суперечливим, а отже суперечливою є і теорія, що допускає таке твердження.

Історія[ред.ред. код]

Парадокс був виявлений Чезаре Буралі-Форті в 1897 року і виявився одним з перших парадоксів, які показали, що наївна теорія множин суперечлива, а отже, непридатна для потреб математики. Неіснування безлічі всіх порядкових чисел суперечить концепції наївної теорії множин, яка дозволяє побудову множин з довільною властивістю елементів, тобто термів виду «множина всіх таких, що » ().

Сучасна аксіоматична теорія множин накладає суворі обмеження на вид умови , за допомогою якого можна утворювати множини. У аксіоматичних системах типу Геделя — Бернайса дозволяється вираження терми для довільних , але із застереженням, що він може виявитися не множиною, а класом.

Див. також[ред.ред. код]