Парадокс Буралі-Форті

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

В теорії множин парадокс Буралі-Форті демонструє, що припущення про існування множини всіх порядкових чисел веде до суперечностей і, отже, суперечливою є теорія, в якій побудова такої множини можлива.

Формулювання[ред.ред. код]

У математичній літературі зустрічаються різні формулювання, що спираються на різну термінологію і можливий набір відомих теорем. Ось одне з можливих формулювань.

Можна довести, що якщо x — довільна множина порядкових чисел, то множина-сума \textstyle\bigcup x є порядкове число, більше або рівне кожному з елементів x. Припустимо тепер, що \Omega — множина всіх порядкових чисел. Тоді \textstyle\bigcup \Omega — порядкове число, більше або рівне кожному з чисел в \Omega. Але тоді і \textstyle\bigcup \Omega \cup \{\bigcup \Omega\} = \bigcup \Omega + 1 — порядкове число, причому вже строго більше, а значить, і не рівне кожному з чисел в \Omega. Але це суперечить умові, по якій \Omega — множина всіх порядкових чисел.

Історія[ред.ред. код]

Парадокс був виявлений Чезаре Буралі-Форті в 1897 року і виявився одним з перших парадоксів, які показали, що наївна теорія множин суперечлива, а отже, непридатна для потреб математики. Неіснування безлічі всіх порядкових чисел суперечить концепції наївної теорії множин, яка дозволяє побудову множин з довільною властивістю елементів, тобто термів виду «множина всіх x таких, що P» (\{x \mid P\}).

Сучасна аксіоматична теорія множин накладає суворі обмеження на вид умови  P , за допомогою якого можна утворювати множини. У аксіоматичних системах типу Геделя — Бернайса дозволяється вираження терми \{x \mid P\} для довільних P, але із застереженням, що він може виявитися не множиною, а класом.

Див. також[ред.ред. код]