Парадокс Буралі-Форті

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

В теорії множин парадокс Буралі-Форті демонструє, що припущення про існування множини всіх порядкових чисел веде до суперечностей і, отже, суперечливою є теорія, в якій побудова такої множини можлива.

Формулювання[ред.ред. код]

У математичній літературі зустрічаються різні формулювання, що спираються на різну термінологію і можливий набір відомих теорем. Ось одне з можливих формулювань.

Припустимо, що \Omega - множина усіх порядкових чисел, тоді множина-сума ∑(\Omega) зберігає властивості порядкового числа і є порядковим числом. Уявімо деяке число ∑(\Omega) + 1; тоді (∑(\Omega) + 1) > ∑(\Omega). Проте оскільки ∑(\Omega) є порядковим числом і зберігає властивості порядкових чисел, то ∑(\Omega) + 1 є елементом \Omega, а отже (∑(\Omega) + 1) < ∑(\Omega). Це твердження суперечить встановленій нами раніше нерівності (∑(\Omega) + 1) > ∑(\Omega), тому усе твердження є суперечливим, а отже суперечливою є і теорія, що допускає таке твердження.

Історія[ред.ред. код]

Парадокс був виявлений Чезаре Буралі-Форті в 1897 року і виявився одним з перших парадоксів, які показали, що наївна теорія множин суперечлива, а отже, непридатна для потреб математики. Неіснування безлічі всіх порядкових чисел суперечить концепції наївної теорії множин, яка дозволяє побудову множин з довільною властивістю елементів, тобто термів виду «множина всіх x таких, що P» (\{x \mid P\}).

Сучасна аксіоматична теорія множин накладає суворі обмеження на вид умови  P , за допомогою якого можна утворювати множини. У аксіоматичних системах типу Геделя — Бернайса дозволяється вираження терми \{x \mid P\} для довільних P, але із застереженням, що він може виявитися не множиною, а класом.

Див. також[ред.ред. код]