Плоский модуль

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Плоский модуль над кільцем R  — це такий модуль, що тензорний добуток на цей модуль зберігає точні послідовності. Модуль називається строго плоским, якщо послідовність тензорних добутків точна тоді і тільки тоді, коли точною є вихідна послідовність.

Векторні простори, вільні і, більш загально, проективні модулі є плоскими. Для скінченнопороджених модулів над нетеровим кільцями плоскі модулі  — те ж саме, що проектні модулі. Для скінченнопороджених модулів над локальними кільцями все плоскі модулі є вільними модулями. [1]

Поняття плоского модуля було введено Серром в 1955 році.

Визначення[ред. | ред. код]

Можна дати кілька еквівалентних визначень плоского модуля. Нижче визначення подані для комутативних кілець.

  • (Лівий) -модуль називається плоским тоді і тільки тоді, коли функтор є точним.
  • Оскільки функтор тензорного добутку завжди є точний справа, попередню вимогу можна послабити. А саме, -модуль є плоским, якщо для будь-якого ін'єктивного гомоморфізма -модулів індуковане відображення також є ін'єкційним.
  • Модуль є плоским, якщо для кожного скінченнопородженого ідеалу в кільці (з природним вкладенням ) індуковане відображення ін'єктивним.
  • Існує направлена множина -модулів з такими властивостями:
  1. Для всіх , є скінченнопородженим вільним -модулем.
  2. Індукційна границя множини рівна : .
  • [2] Для будь-якої лінійної залежності в ,
,
де , існує матриця така що
  1. має розв'язок для деякого .
  2. .
  • Для будь-якого -модуля ,
  • Для будь-якого скінченнопородженого ідеала ,
.
  • Для довільного відображення , де є скінченнопородженим вільним -модулем, і для довільного скінченнопородженого -підмодуля , розкладається через відображення у вільний -модуль для якого образ є нулем:
Factor property of a flat module

Властивості плоских модулів над комутативним кільцем[ред. | ред. код]

Для будь-якої мультиплікативної] системи S кільця R локалізація кільця S-1R є плоским R-модулем.

Скінченнопороджений модуль є плоским тоді і тільки тоді, коли він є локально вільним. Локально вільний модуль над кільцем R  — це такий модуль M, що його локалізація по будь-якому простому ідеалу є вільним модулем над кільцем часток .

Якщо кільце S є R-алгеброю, тобто існує гомоморфізм , має сенс запитати, чи є ця алгебра плоским R-модулем. Виявляється, що S є строго плоским модулем тоді і тільки тоді, коли кожен простий ідеал кільця R є прообразом під дією F деякого простого ідеалу з S, тобто коли відображення є сюр'єктивним (див. статтю Спектр кільця).

Плоскі модулі можна вказати на наступному ланцюжку включень:

Модулі без крученьплоскі модуліпроектні модулівільні модулі.

Для деяких класів кілець правильними є і обернені включення: наприклад, кожен модуль без кручень над дедекіндовим кільцем є плоским, плоский модуль над кільцем Артіна є проективним і проективний модуль над областю головних ідеалів (або над локальним кільцем) є вільним.

Категорні кограниці[ред. | ред. код]

Прямі суми і індуктивні границі плоских модулів є плоскими. Це випливає з того факту, що тензорний добуток комутує з прямими сумами і індуктивними границями (більше того, воно комутує з усіма кограницями). Підмодулі і фактормодулі плоского модуля не обов'язково є плоскими (наприклад, плоским не є модуль Z/2 Z). Проте якщо підмодуль плоского модуля є в ньому прямим доданком, то фактор по ньому є плоским.

Модуль є плоским тоді і тільки тоді, коли він є індуктивною границею скінченнопороджених вільних модулів. [3] З цього випливає, зокрема, що кожен скінченнопредставлений плоский модуль є проективним.

Гомологічна алгебра[ред. | ред. код]

Властивість «плоскості» модуля можна виразити за допомогою функтора Tor, лівого похідного функтора для тензорного добутку. Лівий R- модуль M є плоским тоді і тільки тоді, коли TornR(-,M) = 0 для всіх (тобто коли TornR(X, M) = 0 для всіх і всіх правих R-модулів X), визначення плоского правого модуля є аналогічним. Використовуючи цей факт, можна довести кілька властивостей короткої точної послідовності модулів:

Short exact sequence ABC.png
  • Якщо A і C плоскі, то і B плоский.
  • Якщо B і C плоскі, то і A є плоским.

Якщо A і B плоскі, C в загальному випадку не є плоским. Однак

  • Якщо A  — прямий доданок модуля B і B є плоским, то A і C плоскі.

Плоскі резольвенти[ред. | ред. код]

Плоска резольвента модуля M  — це резольвента виду

… → F2F1F0M → 0

де всі Fi є плоскими модулями. Плоскі резольвенти використовуються при обчисленні функтора Tor.

Довжина плоскої резольвенти  — це найменший індекс n, такий що Fn не дорівнює нулю і Fi = 0 для всіх i, що є більшими за n. Якщо модуль M має скінченну плоску резольвенту, її довжина називається плоскою розмірністю модуля. [4], в іншому випадку говорять, що плоска розмірність нескінченна. Наприклад, якщо модуль M має плоску розмірність 0, то з точністю послідовності 0 → F0M → 0 випливає, що M є ізоморфним F 0 , тобто є плоским.

Див. також[ред. | ред. код]

Примітки[ред. | ред. код]

  1. Matsumura, 1970, Proposition 3.G
  2. Bourbaki, Ch. I, § 2. Proposition 13, Corollay 1.
  3. Lazard, D. (1969). [http: //www.numdam.org/item? id = BSMF_1969__97__81_0 Autour de la platitude]. Bulletin de la Societe Mathematique de France 97: 81–128. 
  4. Lam, 1999, p. 183

Література[ред. | ред. код]