Рівняння Ріккаті

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Рівняння Рікаттізвичайне диференціальне рівняння виду:

де неперервні на деякому інтервалі I функції. Окремий випадок рівняння:

( — сталі), досліджував Якопо Ріккаті (1723). У цьому разі рівняння називають спеціальним рівнянням Ріккаті. Воно цікаве насамперед з огляду на такий факт. Даніель Бернуллі близько 1725 року встановив, що спеціальне рівняння Ріккаті допускає відшукання загального розв'язку в елементарних функціях, якщо або , де nціле число. У 1841 році Жозеф Ліувілль з'ясував, що при всіх інших значеннях це рівняння вже не можна зінтегрувати в квадратурах.

Рівняння та його узагальнення на випадок систем диференціальних рівнянь мають важливі застосування в багатьох математичних дисциплінах.

Властивості[ред.ред. код]

Рівняння Ріккаті завжди можна зінтегрувати в квадратурах, якщо вдалося знайти хоча б один його частинний розв'язок.

Якщо y1 — частинний розв'язок рівняння, то заміна змінних y = y1 + u де u — нова невідома функція незалежної змінної x, зводить це рівняння до рівняння Бернуллі.
Підставивши в (*) y = y1 + u, дістанемо
Але . Тому рівняння для нової змінної у має вигляд:
Це — рівняння Бернуллі.

Зведення до лінійного рівняння другого порядку[ред.ред. код]

тоді коли є ненульовим, задовольняє рівняння Ріккаті виду:

де і , тому що

Підставляючи , одержуємо що задовольняє лінійне рівняння другого порядку

оскільки

тому

і остаточно

З розв'язку цього рівняння можна одержати розв'язок вихідного рівняння Ріккаті.

  • Нехай — часткові розв'язки рівняння Ріккаті. Тоді загальний розвязок визначається з формули:
де
  • Загальний розвязок рівняння Ріккаті (*) є раціональною функцією від сталої інтегрування, і навпаки, будь-яке диференціальне рівняння першого порядку, що володіє цією властивістю, є рівнянням Ріккаті.
  • Якщо — часткові розв'язки рівняння Ріккаті , що відповідають значенням сталої інтегрування, то має місце тотожність:

Загальний розв'язок рівняння Ріккаті визначається з трьох часткових за допомогою даної функції.

Матричне рівняння Ріккаті[ред.ред. код]

  • Матричним рівнянням Ріккаті називається диференціальне рівняння:

де X — невідома матриця розмірів n×m, а розміри матриць A(t), B(t), С(t), D(t) відповідно m×n, n×n, m×m, n×m.

Матричне рівняння Ріккаті відіграє важливу роль в теорії лінійних гамільтонових систем, варіаційному численні, задачах оптимального управління, фільтрації, стабілізації керованих лінійних систем. Наприклад, оптимальне управління u0 в задачі мінімізації функціонала:

на розв'язках системи:

(n×n-матриці Φ, М(t) симетричні і невід'ємноозначені, а m×m -матриця N(t), додатноозначена при ), визначається формулою:

де Z(t) — розв'язок матричного рівняння Ріккаті:

з граничною умовою

У задачах управління на нескінченному інтервалі часу важливими є питання про існування у матричного рівняння Ріккаті невід'ємноозначеного обмеженого на розв'язку, про існування періодичного або майже періодичного розв'язку (у випадку періодичних або майже періодичних коефіцієнтів рівняння) і про способи наближеної побудови таких рішень.

Див. також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]

  • В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Физматлит, 2001.
  • Лауфер М. Я. О решении уравнений Риккати // Лауфер М. Я. Избранные задачи математической физики. Сб. статей.— Северодвинск: НТО кораблестроителей им. акад. А. Н. Крылова, Севмашвтуз, Северодв. отд-ние Ломоносов. фонда, 2005.— стр. 137—140.— ISBN 5-7723-0605-9.
  • Лионс Ж.-Л., Оптимальное управление Системами, описываемыми уравнениями с частными производными, пер. с франц., М., 1972;
  • Самойленко А.М., Перестюк М.О., Парасюк I.О. Диференціальні рівняння: Підручник. – К.: Либідь, 2003р. – 600 с.