Розподіл Рейлі

Розподіл Релея
Функція розподілу ймовірностей
Параметри	$\sigma >0\,$
Носій функції	$x\in [0;\infty )$
Розподіл імовірностей	${\frac {x}{\sigma ^{2}}}e^{-x^{2}/2\sigma ^{2}}$
Функція розподілу ймовірностей (cdf)	$1-e^{-x^{2}/2\sigma ^{2}}$
Середнє	$\sigma {\sqrt {\frac {\pi }{2}}}$
Медіана	$\sigma {\sqrt {\ln(4)}}\,$
Мода	$\sigma \,$
Дисперсія	${\frac {4-\pi }{2}}\sigma ^{2}$
Коефіцієнт асиметрії	${\frac {2{\sqrt {\pi }}(\pi -3)}{(4-\pi )^{3/2}}}$
Коефіцієнт ексцесу	$-{\frac {6\pi ^{2}-24\pi +16}{(4-\pi )^{2}}}$
Ентропія	$1+\ln \left({\frac {\sigma }{\sqrt {2}}}\right)+{\frac {\gamma }{2}}$
Твірна функція моментів (mgf)	$1+\sigma t\,e^{\sigma ^{2}t^{2}/2}{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\left({\textrm {erf}}\left({\frac {\sigma t}{\sqrt {2}}}\right)\!+\!1\right)$
Характеристична функція	$1\!-\!\sigma te^{-\sigma ^{2}t^{2}/2}{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\!\left({\textrm {erfi}}\!\left({\frac {\sigma t}{\sqrt {2}}}\right)\!-\!i\right)$

Розподіл Рейлі - це розподіл імовірностей випадкової величини $\displaystyle X$ із щільністю

$f(x;\sigma )={\frac {x}{\sigma ^{2}}}\exp \left(-{\frac {x^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right),x\geqslant 0,\sigma >0,$

де $\displaystyle \sigma$ - параметр масштабу. Відповідна функція розподілу має вигляд

${\mathsf {P}}(X\leqslant x)=\int \limits _{0}^{x}f(\xi )\,d\xi =1-\exp \left(-{\frac {x^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right),x\geqslant 0.$

Введено вперше в 1880 р. Джоном Вільямом Стреттом (лордом Рeлеєм) у зв'язку з задачею додавання гармонійних коливань з випадковими фазами.

Властивості

Моменти випадкової величини з розподілом Релея обчислюються за формулою:

$\mu _{k}=\sigma ^{k}2^{k/2}\,\Gamma (1+k/2)\,$

де $\Gamma (z)$ — Гамма-функція.

Математичне сподівання тa дисперсія випадкової величини з розподілом Релея виражається як:

$\mu (X)=\sigma {\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\ \approx 1.253\sigma ,$

і

${\textrm {var}}(X)={\frac {4-\pi }{2}}\sigma ^{2}\ \approx 0.429\sigma ^{2}.$

Мода дорівнює $\sigma$, а максимум щільності

$f_{\text{max}}=f(\sigma ;\sigma )={\frac {1}{\sigma }}\exp {-{\frac {1}{2}}}\approx {\frac {0.606}{\sigma }}$

Коефіцієнт асиметрії задається як:

$\gamma _{1}={\frac {2{\sqrt {\pi }}(\pi -3)}{(4-\pi )^{3/2}}}\approx 0.631.$

Формула для обчислення коефіцієнта ексцесу:

$\gamma _{2}=-{\frac {6\pi ^{2}-24\pi +16}{(4-\pi )^{2}}}\approx 0.245.$

Характеристична функція задається формулою:

$\varphi (t)=1\!-\!\sigma te^{-\sigma ^{2}t^{2}/2}{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\!\left({\textrm {erfi}}\!\left({\frac {\sigma t}{\sqrt {2}}}\right)\!-\!i\right)$

дe $\operatorname {erfi} (z)$ — коомплексна функція помилок. Формула для твірної функції моментів

$M(t)=\,$

$1+\sigma t\,e^{\sigma ^{2}t^{2}/2}{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\left({\textrm {erf}}\left({\frac {\sigma t}{\sqrt {2}}}\right)\!+\!1\right),$

дe $\operatorname {erf} (z)$ —функція помилок.

Ентропія інформації

Ентропія інформації задається як

$H=1+\ln \left({\frac {\sigma }{\sqrt {2}}}\right)+{\frac {\gamma }{2}}$

дe $\gamma$ — стала Ейлера — Маскероні.

Застосування

• У задачах про пристрілювання гармат. Якщо відхилення від цілі для двох взаємно перпендикулярних напрямків нормально розподілені і некорельовані, координати цілі збігаються з початком координат, то позначивши розкид по осях за $X$ і $Y$, отримаємо вираз величини промаху у формі $R={\sqrt {{{X}^{2}}+{{Y}^{2}}}}$. У цьому випадку величина $R$ має розподіл Релея.
• У радіотехніці для опису амплітудних флуктуацій радіосигналу.
• Щільність розподілу випромінювання абсолютно чорного тіла по частотах.

Зв'язок з іншими розподілами

• Якщо ${X}$ і ${Y}$ - незалежні гауссовские випадкові величини нульові математичні чекання, що мають, і однакові дисперсії ${{\sigma }^{2}}$, те випадкова величина $Z={\sqrt {{{X}^{2}}+{{Y}^{2}}}}$ має розподіл Релея.
• Якщо незалежні гаусовскі випадкові величини ${X}$ і ${Y}$ мають ненульові математичні чекання, у загальному випадку нерівні, то розподіл Релея переходить у розподіл Райса.
• Щільність розподілу квадрата рейлівскої величини з ${\sigma =1}$ має розподіл хі-квадрат із двома ступенями волі.

Див. також

• Розподіл хі-квадрат
• Розподіл Райса